integral 2 x+3(x+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral . Isso está relacionado com o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente com integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de frações parciais ou simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração . Para isso, fazemos uma divisão polinomial ou reescrevemos o numerador de forma que facilite a integração. Observando que pode ser reescrito em termos de :

Passo 3

Substituindo essa expressão no numerador, temos:
2x + 3(x + 1)^2 = 2(x + 1) + 1(x + 1)^2 = 2(x + 1)(x + 1)^2 + 1(x + 1)^2 = 2x + 1 + 1(x + 1)^2

Passo 4

Agora, a integral se torna:
integral ( 2x + 1 + 1(x + 1)^2 ) dx
Isso facilita porque podemos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Vamos integrar cada parte:
  1. : A integral de é , então aqui fica .
  2. : Lembrando que para . Aqui, , então fica .

Passo 6

Juntando os resultados das integrais:
2 ln|x + 1| - 1x + 1 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

2 ln|x + 1| - 1x + 1 + C

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