Delegados de 12 países devem sentar em uma fileira. O alemão deve : espanhol, mas o russo não pode sentar ao lado do americano. Quantéa. 12345380b. 13967180c. 12723260d. 11812140e. 11612160
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de arranjo de delegados! A gente tem 12 delegados de diferentes países que vão sentar numa fileira. As regras são:
- O alemão deve ficar à esquerda do espanhol.
- O russo não pode sentar ao lado do americano.
Vamos precisar usar conceitos de permutações com restrições para calcular o número total de maneiras que eles podem se sentar obedecendo essas regras.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o total de arranjos possíveis sem nenhuma restrição. Como são 12 delegados, o total de arranjos é dado por
(12 fatorial), que é:
Passo 3
Agora, aplicamos a primeira restrição: o alemão deve ficar à esquerda do espanhol. Para isso, consideramos que, sem restrição, o alemão e o espanhol podem trocar de posição entre si. Então, metade das permutações vão ter o alemão à esquerda do espanhol.
Portanto, dividimos o total de arranjos por 2:
Passo 4
Em seguida, aplicamos a segunda restrição: o russo não pode sentar ao lado do americano. Para calcular isso, usamos o princípio da inclusão-exclusão.
Primeiro, calculamos o número de arranjos onde o russo e o americano estão juntos. Tratamos o russo e o americano como uma única “unidade”, então temos 11 unidades para arranjar:
Passo 5
Agora, subtraímos esses arranjos indesejados do total que respeita a primeira restrição:
Passo 6
No entanto, precisamos ajustar esse número considerando que ao tratar o russo e o americano como uma unidade, também estamos mantendo a condição do alemão ficar à esquerda do espanhol. Portanto, já estamos contabilizando isso corretamente.
Resposta
A quantidade de maneiras que os delegados podem sentar obedecendo às regras é 116121600. A alternativa correta é a e. 11612160.