Quando substâncias orgânicas são lançadas em um lago, a concentração de oxigênio na água diminui temporariamente por causa da oxidação. Suponha que, t dias após dejetos sem tratamento serem lançados em um certo lago, a fração da concentração normal de oxigênio que permanece na água do lago seja dada pela função
O(t) = 1 - 12/(t + 12) + 144/(t + 12)²
Se não são lançados novos dejetos, o que acontece a longo prazo com a concentração de oxigênio? Use um limite para confirmar o seu palpite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o quanto de oxigênio permanece na água de um lago após a entrada de dejetos orgânicos. Temos uma função que nos dá a fração do oxigênio normal que ainda está na água após dias:
A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente limites. A gente precisa descobrir o que acontece com quando o tempo passa muito, ou seja, quando vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função está representando. Ela nos dá a fração de oxigênio que resta na água após dias. Queremos saber qual é essa fração quando fica super grande, praticamente o lago se recuperando totalmente.

Passo 3

Para descobrir isso, usamos o conceito de limite. O limite de uma função quando vai para o infinito nos mostra o comportamento da função nesse cenário. Então, vamos calcular:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada parte separadamente:
  1. (já que 1 é constante).
  2. (porque o denominador cresce sem limite).
  3. (mesmo motivo, mas ainda mais rápido indo para zero).

Passo 5

Juntando tudo:
Isso significa que, a longo prazo, a fração de oxigênio na água volta ao normal, ou seja, 100%.

Resposta

A longo prazo, a concentração de oxigênio na água do lago retorna ao nível normal. O limite de quando tende ao infinito é 1.

Exercícios relacionados