Quando substâncias orgânicas são lançadas em um lago, a concentração de oxigênio na água diminui temporariamente por causa da oxidação. Suponha que,
dias após dejetos sem tratamento serem lançados em um certo lago, a fração da concentração normal de oxigênio que permanece na água do lago seja dada pela função
Se não são lançados novos dejetos, o que acontece a longo prazo com a concentração de oxigênio? Use um limite para confirmar o seu palpite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o quanto de oxigênio permanece na água de um lago após a entrada de dejetos orgânicos. Temos uma função que nos dá a fração do oxigênio normal que ainda está na água após
dias:
A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente limites. A gente precisa descobrir o que acontece com
quando o tempo passa muito, ou seja, quando
vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função
está representando. Ela nos dá a fração de oxigênio que resta na água após
dias. Queremos saber qual é essa fração quando
fica super grande, praticamente o lago se recuperando totalmente.
Passo 3
Para descobrir isso, usamos o conceito de limite. O limite de uma função quando
vai para o infinito nos mostra o comportamento da função nesse cenário. Então, vamos calcular:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada parte separadamente:
-
(já que 1 é constante). -
(porque o denominador cresce sem limite). -
(mesmo motivo, mas ainda mais rápido indo para zero).
Passo 5
Juntando tudo:
Isso significa que, a longo prazo, a fração de oxigênio na água volta ao normal, ou seja, 100%.
Resposta
A longo prazo, a concentração de oxigênio na água do lago retorna ao nível normal. O limite de
quando
tende ao infinito é 1.
Exercícios relacionados
Estima-se que, daqui a
anos, a população em um certo município será de
milhares de habitantes. Um estudo ambiental revela que a concentração média de monóxido de carbono no ar é dada por
partes por milhão, onde
é a população em milhares de habitantes.
Qual será a taxa de variação de monóxido de carbono com relação ao tempo daqui a 2 anos? A concentração estará aumentando ou diminuindo nessa ocasião?
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Observações mostram que o comprimento
em milímetros (mm), do focinho à ponta da cauda, de um tigre siberiano pode ser estimado usando a função
, onde
é o peso do tigre em quilogramas
. Além disso, quando o tigre tem menos de 6 meses de idade, seu peso (em kg) pode ser estimado em termos da idade
em dias pela função
.
Qual á a taxa de variação do comprimento de um tigre siberiano em relação ao peso quando está pesando 60 kg ?
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A demanda de um certo produto é
unidades por mês quando o preço é
reais por unidade.
Para que preço a taxa de variação da despesa dos consumidores começa a aumentar? Interprete esse resultado.
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Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: