Quando substâncias orgânicas são lançadas em um lago, a concentração de oxigênio na água diminui temporariamente por causa da oxidação. Suponha que,
dias após dejetos sem tratamento serem lançados em um certo lago, a fração da concentração normal de oxigênio que permanece na água do lago seja dada pela função
Se não são lançados novos dejetos, o que acontece a longo prazo com a concentração de oxigênio? Use um limite para confirmar o seu palpite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o quanto de oxigênio permanece na água de um lago após a entrada de dejetos orgânicos. Temos uma função que nos dá a fração do oxigênio normal que ainda está na água após
dias:
A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente limites. A gente precisa descobrir o que acontece com
quando o tempo passa muito, ou seja, quando
vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função
está representando. Ela nos dá a fração de oxigênio que resta na água após
dias. Queremos saber qual é essa fração quando
fica super grande, praticamente o lago se recuperando totalmente.
Passo 3
Para descobrir isso, usamos o conceito de limite. O limite de uma função quando
vai para o infinito nos mostra o comportamento da função nesse cenário. Então, vamos calcular:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada parte separadamente:
-
(já que 1 é constante). -
(porque o denominador cresce sem limite). -
(mesmo motivo, mas ainda mais rápido indo para zero).
Passo 5
Juntando tudo:
Isso significa que, a longo prazo, a fração de oxigênio na água volta ao normal, ou seja, 100%.
Resposta
A longo prazo, a concentração de oxigênio na água do lago retorna ao nível normal. O limite de
quando
tende ao infinito é 1.