A demanda de um certo produto é D(p) = 3000 * e^(-0,01 * p) unidades por mês quando o preço é p reais por unidade.
Qual é a taxa de variação da despesa dos consumidores E(p) = p D(p) em relação ao preço p ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de demanda , que mostra quantas unidades do produto as pessoas compram por mês dependendo do preço . Queremos descobrir como a despesa total dos consumidores muda quando o preço muda. Isso significa que vamos calcular a taxa de variação de em relação a , ou seja, a derivada .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função da despesa total:

Passo 3

Agora, para encontrar a taxa de variação de em relação a , precisamos derivar em relação a . Ou seja, vamos calcular .

Passo 4

Vamos derivar . Aqui, temos um produto de duas funções: e . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 5

Vamos identificar as partes:

Passo 6

Aplicando a regra do produto:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Fatorando :

Resposta

A taxa de variação da despesa dos consumidores em relação ao preço é:

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