1. a) (-2, 5pi/4) ; (2, -7pi/4)
    b) (-raiz(2), -4pi/3); (raiz(2), 5pi/3)
    c) (5, 5pi/3); (-5, -4pi/3)
    d) (-4, 11 pi / 6) ; (4, -7 pi / 6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 2 que tem quatro partes (a, b, c, d). Em cada parte, temos dois pontos representados em coordenadas polares. Nosso objetivo vai ser converter essas coordenadas polares para coordenadas cartesianas (retangulares), que são mais fáceis de trabalhar no dia a dia. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas de conversão:
Essas fórmulas nos ajudam a encontrar as coordenadas e a partir do raio e do ângulo .

Passo 2

Vamos começar com a parte a:
Pontos: e
Primeiro ponto:
Aqui, o raio é negativo, o que significa que o ponto está na direção oposta ao ângulo dado. Para facilitar, podemos transformar positivo e adicionar ao ângulo.
Agora, aplicando as fórmulas:
Segundo ponto:
O ângulo negativo pode ser convertido para positivo adicionando :
Agora, aplicando as fórmulas:

Passo 3

Vamos para a parte b:
Pontos: e
Primeiro ponto:
Convertendo para positivo e ajustando o ângulo:
Adicionando para tornar o ângulo positivo:
Aplicando as fórmulas:
Segundo ponto:
Aplicando diretamente as fórmulas:

Passo 4

Agora, a parte c:
Pontos: e
Primeiro ponto:
Aplicando as fórmulas:
Segundo ponto:
Convertendo para positivo e ajustando o ângulo:
Adicionando :
Aplicando as fórmulas:

Passo 5

Por último, a parte d:
Pontos: e
Primeiro ponto:
Convertendo para positivo e ajustando o ângulo:
Como é maior que , subtraímos :
Aplicando as fórmulas:
Segundo ponto:
Convertendo o ângulo negativo para positivo:
Aplicando as fórmulas:

Resposta

Todas as conversões resultam nos mesmos pontos em coordenadas cartesianas:
a) e
b) e
c) e
d) e

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