Quando substâncias orgânicas são lançadas em um lago, a concentração de oxigênio na água diminui temporariamente por causa da oxidação. Suponha que, t dias após dejetos sem tratamento serem lançados em um certo lago, a fração da concentração normal de oxigênio que permanece na água do lago seja dada pela função
O(t) = 1 - 12/(t + 12) + 144/(t + 12)²
A fração de oxigênio está aumentando ou diminuindo após 15 dias?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que descreve a fração de oxigênio na água de um lago ao longo do tempo, em dias. A função é:
A matéria que vamos usar aqui é o cálculo, especificamente o conceito de derivada, que nos ajuda a entender se uma função está aumentando ou diminuindo em determinado ponto. Vamos precisar calcular a derivada de e avaliar essa derivada no dia 15 para saber se a fração de oxigênio está aumentando ou diminuindo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto nos diz a taxa de variação daquela função naquele ponto. Se a derivada for positiva, a função está aumentando; se for negativa, está diminuindo.
Então, para saber se a fração de oxigênio está aumentando ou diminuindo após 15 dias, precisamos encontrar a derivada de e ver se ela é positiva ou negativa quando .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A função é:
Vamos derivar cada termo separadamente.
  1. A derivada de uma constante, como 1, é 0.
  2. Para , podemos reescrever como . Usando a regra do poder, a derivada é:
  1. Para , reescrevemos como . A derivada é:
Portanto, a derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar a derivada no dia 15 ( ):
Primeiro, calculemos .
Substituindo na derivada:
Vamos simplificar as frações:
Agora, para subtrair as frações, precisamos de denominadores iguais. Observando que , multiplicamos o numerador e denominador da primeira fração por 9:
Então:

Resposta

Como é positivo ( ), a fração de oxigênio na água do lago está aumentando após 15 dias.

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