A demanda de um certo produto é D(p) = 3000 * e^(-0,01 * p) unidades por mês quando o preço é p reais por unidade.
Para que preço a despesa dos consumidores deixa de aumentar e começa a diminuir?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a demanda de um produto, que depende do preço. A gente quer descobrir a partir de qual preço a despesa dos consumidores para comprar esse produto para de aumentar e começa a diminuir. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente de derivadas, para encontrar o ponto onde a despesa atinge o máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a despesa dos consumidores. A despesa total é o preço multiplicado pela quantidade demandada. Então, se , a despesa é:

Passo 3

Agora, para encontrar o ponto onde a despesa para de aumentar e começa a diminuir, precisamos encontrar o valor de que maximiza a função . Isso significa que vamos derivar em relação a e achar onde a derivada é igual a zero.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de :
Usando a regra do produto para derivadas, temos:
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar o ponto máximo, igualamos a derivada a zero:
Sabemos que nunca é zero, então o que interessa é:

Passo 6

Resolvendo para :

Resposta

O preço é de 100 reais. A partir desse valor, a despesa dos consumidores para comprar o produto deixa de aumentar e começa a diminuir.

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