Demanda A função da demanda de um produto pode ser modelada por
p = 10000 * (1 - 3/(3 + e^(-0,001 * x))).
Determine o preço do produto se a quantidade demandada é (a) x = 1000 unidades e (b) x = 1500 unidades. Qual é o limite do preço quando x aumenta ilimitadamente?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de demanda que relaciona o preço do produto com a quantidade demandada . A fórmula dada é:
Vamos precisar usar álgebra e entender um pouquinho de cálculo, especialmente quando falamos de limites. Nosso objetivo é calcular o preço quando a quantidade demandada é 1000 e 1500 unidades, e também descobrir qual é o preço quando a quantidade aumenta muito, tipo sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o preço quando unidades. Vamos substituir esse valor na fórmula.
Simplificando o expoente:
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor de . Lembrando que é aproximadamente 2,71828.
Substituindo de volta na expressão:
Somando no denominador:
Então:

Passo 4

Vamos calcular a fração:
Subtraindo de 1:
Multiplicando por 10.000:
Então, o preço quando unidades é aproximadamente R$1.087.

Passo 5

Agora, vamos repetir o mesmo processo para unidades.
Substituindo na fórmula:
Calculando o expoente:
Então:

Passo 6

Calculando :
Substituindo:
Somando no denominador:
Então:

Passo 7

Calculando a fração:
Subtraindo de 1:
Multiplicando por 10.000:
Então, o preço quando unidades é aproximadamente R$698.

Passo 8

Por último, vamos encontrar o limite do preço quando aumenta sem parar, ou seja, quando tende ao infinito ( ).
Olha a função:
Quando fica muito grande, o termo se aproxima de zero, porque quanto maior , mais negativo fica o expoente, e elevado a um número muito negativo é quase zero.
Então, a expressão simplifica para:

Resposta

(a) Quando unidades, o preço é aproximadamente R$1.087.
(b) Quando unidades, o preço é aproximadamente R$698.
O limite do preço quando aumenta ilimitadamente é R$0.

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