Seja . Verifique que é contínua.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , definida de duas formas:
A questão quer que a gente verifique se essa função é contínua em todos os pontos, especialmente no ponto . Para isso, vamos precisar usar o conceito de limite de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em . Sabemos que , então precisamos mostrar que:

Passo 3

Para calcular esse limite, vamos usar a ideia de que, se conseguirmos encontrar uma estimativa para o valor absoluto da expressão e mostrar que essa estimativa tende a zero, então o limite também será zero. Vamos começar pegando o valor absoluto da função:
Queremos encontrar um limite para essa expressão que seja fácil de calcular.

Passo 4

Vamos analisar os componentes da fração. No numerador, temos e no denominador, . Sabemos que e são sempre positivos ou zero. Podemos usar desigualdades para simplificar a expressão.

Passo 5

Note que , então podemos dizer que:
Além disso, (porque é a distância do ponto até a origem). Isso nos ajuda a estimar o valor de .

Passo 6

Usando essas observações, podemos estimar o valor absoluto da função:
Agora, percebemos que à medida que se aproxima de , também se aproxima de 0.

Passo 7

Portanto, temos que:
O que nos diz que:
Assim, pelo Teorema do Squeeze (ou “Teorema do Aperto”), o limite da nossa função original também é zero.

Resposta

A função é contínua no ponto .

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Seja . Verifique que não é contínua.
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