Seja f(x, y)=rllx^2 y^32 x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 1 & se & (x, y)=(0,0). Verifique que f não é contínua.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está nos perguntando. Temos uma função definida de forma diferente dependendo de onde estamos no plano. Queremos verificar se essa função é contínua no ponto . Para fazer isso, vamos precisar entender o que significa continuidade e como podemos verificar isso usando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função é contínua em lim(x,y) to (a,b) f(x, y) = f(a, b) se o limite da função quando lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = f(0, 0) se aproxima de for igual ao valor da função em . Ou seja:
No nosso caso, queremos saber se:
Sabemos que , então precisamos calcular esse limite.

Passo 3

Vamos calcular o limite de f(x, y) = x^2 y^32 x^2 + y^2 quando se aproxima de . A função para é:
Para calcular o limite, podemos tentar abordar o ponto por diferentes caminhos e ver se o limite é o mesmo em todos os casos.

Passo 4

Vamos primeiro tentar o caminho onde f(x, 0) = x^2 cdot 0^32 x^2 + 0^2 = 0 . Substituindo na função:
Então, ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite é 0.

Passo 5

Agora, vamos tentar o caminho onde f(0, y) = 0^2 cdot y^32 cdot 0^2 + y^2 = 0 . Substituindo na função:
Assim, pelo eixo , o limite também é 0.

Passo 6

Vamos tentar agora um caminho onde f(x, kx) = x^2 (kx)^32 x^2 + (kx)^2 = k^3 x^52 x^2 + k^2 x^2 = k^3 x^5x^2 (2 + k^2) = k^3 x^32 + k^2 , onde é uma constante. Substituindo na função:
Quando tende a 0, também tende a 0, então o limite é 0.

Passo 7

Até agora, todos os caminhos que testamos dão o limite 0. Mas, para provar que a função não é contínua, basta encontrar um caminho onde o limite não seja 0 ou não exista. Vamos tentar um caminho diferente, por exemplo, , onde escolhemos de forma que o limite não seja 0.

Passo 8

Vamos escolher f(x, x^32) = x^2 (x^32)^32 x^2 + (x^32)^2 = x^2 x^922 x^2 + x^3 = x^1322 x^2 + x^3 . Substituindo na função:
2 x^2 + x^3 = x^2 (2 + x)
Simplificando o denominador:
f(x, x^32) = x^132x^2 (2 + x) = x^922 + x
Então:
Quando tende a 0, o numerador tende a 0 mais rápido que o denominador, então o limite ainda é 0.

Passo 9

Já que todos os caminhos testados dão limite 0, vamos reconsiderar nossa análise. Lembre-se que , mas o limite da função quando se aproxima de é 0. Como 0 é diferente de 1, isso mostra que a função não é contínua em .

Resposta

Portanto, não é contínua no ponto porque o limite da função quando se aproxima de é 0, enquanto .

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