Seja . Verifique que não é contínua.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está nos perguntando. Temos uma função definida de forma diferente dependendo de onde estamos no plano. Queremos verificar se essa função é contínua no ponto . Para fazer isso, vamos precisar entender o que significa continuidade e como podemos verificar isso usando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função é contínua em se o limite da função quando se aproxima de for igual ao valor da função em . Ou seja:
No nosso caso, queremos saber se:
Sabemos que , então precisamos calcular esse limite.

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de . A função para é:
Para calcular o limite, podemos tentar abordar o ponto por diferentes caminhos e ver se o limite é o mesmo em todos os casos.

Passo 4

Vamos primeiro tentar o caminho onde . Substituindo na função:
Então, ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite é 0.

Passo 5

Agora, vamos tentar o caminho onde . Substituindo na função:
Assim, pelo eixo , o limite também é 0.

Passo 6

Vamos tentar agora um caminho onde , onde é uma constante. Substituindo na função:
Quando tende a 0, também tende a 0, então o limite é 0.

Passo 7

Até agora, todos os caminhos que testamos dão o limite 0. Mas, para provar que a função não é contínua, basta encontrar um caminho onde o limite não seja 0 ou não exista. Vamos tentar um caminho diferente, por exemplo, , onde escolhemos de forma que o limite não seja 0.

Passo 8

Vamos escolher . Substituindo na função:
Simplificando o denominador:
Então:
Quando tende a 0, o numerador tende a 0 mais rápido que o denominador, então o limite ainda é 0.

Passo 9

Já que todos os caminhos testados dão limite 0, vamos reconsiderar nossa análise. Lembre-se que , mas o limite da função quando se aproxima de é 0. Como 0 é diferente de 1, isso mostra que a função não é contínua em .

Resposta

Portanto, não é contínua no ponto porque o limite da função quando se aproxima de é 0, enquanto .

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Seja . Verifique que é contínua.
Demanda A função da demanda de um produto pode ser modelada por
.
Determine o preço do produto se a quantidade demandada é (a) unidades e (b) unidades. Qual é o limite do preço quando aumenta ilimitadamente?
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(f) ;
Encontre e expresse em função de . Determine se é monótona e limitada. Calcule .
© ;