Seja
. Verifique que
não é contínua.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está nos perguntando. Temos uma função
definida de forma diferente dependendo de onde estamos no plano. Queremos verificar se essa função é contínua no ponto
. Para fazer isso, vamos precisar entender o que significa continuidade e como podemos verificar isso usando limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função é contínua em
se o limite da função quando
se aproxima de
for igual ao valor da função em
. Ou seja:
No nosso caso, queremos saber se:
Sabemos que
, então precisamos calcular esse limite.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. A função para
é:
Para calcular o limite, podemos tentar abordar o ponto
por diferentes caminhos e ver se o limite é o mesmo em todos os casos.
Passo 4
Vamos primeiro tentar o caminho onde
. Substituindo
na função:
Então, ao nos aproximarmos de
pelo eixo
, o limite é 0.
Passo 5
Agora, vamos tentar o caminho onde
. Substituindo
na função:
Assim, pelo eixo
, o limite também é 0.
Passo 6
Vamos tentar agora um caminho onde
, onde
é uma constante. Substituindo
na função:
Quando
tende a 0,
também tende a 0, então o limite é 0.
Passo 7
Até agora, todos os caminhos que testamos dão o limite 0. Mas, para provar que a função não é contínua, basta encontrar um caminho onde o limite não seja 0 ou não exista. Vamos tentar um caminho diferente, por exemplo,
, onde escolhemos
de forma que o limite não seja 0.
Passo 8
Vamos escolher
. Substituindo na função:
Simplificando o denominador:
Então:
Quando
tende a 0, o numerador
tende a 0 mais rápido que o denominador, então o limite ainda é 0.
Passo 9
Já que todos os caminhos testados dão limite 0, vamos reconsiderar nossa análise. Lembre-se que
, mas o limite da função quando
se aproxima de
é 0. Como 0 é diferente de 1, isso mostra que a função não é contínua em
.
Resposta
Portanto,
não é contínua no ponto
porque o limite da função quando
se aproxima de
é 0, enquanto
.
Exercícios relacionados
Seja
. Verifique que
é contínua.
Demanda A função da demanda de um produto pode ser modelada por
.
Determine o preço do produto se a quantidade demandada é (a) unidades e (b)
unidades. Qual é o limite do preço quando
aumenta ilimitadamente?
Determine o preço do produto se a quantidade demandada é (a)
Determine se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(f) ;
(f)
Encontre
e expresse
em função de
. Determine se
é monótona e limitada. Calcule
.
© ;
©