Demonstra-se que é holomorfa em se, e somente se, é diferenciável em e, nesse caso,
em ou seja,
em , por (2.29). Portanto, uma condição necessária e suficiente para que seja holomorfa é a seguinte: o coeficiente de deve nulo em (2.30), isto é, deve ser proporcional a , onde é o coeficiente de proporcionalidade.
Como exercício, determine que condições as constantes reais e devem satisfazer para que a função
seja holomorfa.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Queremos descobrir quais condições as constantes reais , , e devem satisfazer para que a função
seja holomorfa. Isso significa que a função deve ser diferenciável em um ponto específico e satisfazer certas condições matemáticas conhecidas como Equações de Cauchy-Riemann.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em suas partes real e imaginária. Podemos escrever como:
onde:
  • é a parte real da função.
  • é a parte imaginária da função.

Passo 3

Para verificar se é holomorfa, precisamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e . Vamos fazer isso:

Passo 4

Agora, aplicamos as Equações de Cauchy-Riemann, que são condições necessárias e suficientes para que uma função seja holomorfa. As equações são:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Resposta

Para que a função seja holomorfa, as constantes reais devem satisfazer as seguintes condições:

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Resolva as integrais:
Obtenha as equaçōes das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto .
Demonstre que
onde
é o operador laplaciano.
Determine uma função tal que .

Resolução

é harmônica. Agora, suponha que existe tal que seja holomorfa em todo . Assim, pelas condições de Cauchy-Riemann,
Portanto,

  1. Essa condição é equivalente às condições de Cauchy-Riemann, isto é, (2.2) da página 8.
    Uma função é harmônica quando o seu operador laplaciano é nulo, ou seja, , conforme definido em (2.31). Demonstra-se que, se uma função é holomorfa, então ela é harmônica, pelas condições de CauchyRiemann supracitadas. ↩︎