Demonstra-se que f(z) é holomorfa em z0=x0+i y0 se, e somente se, f(x, y) é diferenciável em (x0, y0) e, nesse caso,
partial fpartial x+i partial fpartial y=0
em z0 ^62 ou seja,
partial fpartial barz=0
em z0, por (2.29). Portanto, uma condição necessária e suficiente para que f(z) seja holomorfa é a seguinte: o coeficiente de d barz deve nulo em (2.30), isto é, d f deve ser proporcional a d z, onde f^prime(z) é o coeficiente de proporcionalidade.
Como exercício, determine que condições as constantes reais a, b, c e d devem satisfazer para que a função
f(z)=a x+b y+i(c x+d y)
seja holomorfa.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Queremos descobrir quais condições as constantes reais f(z) = a x + b y + i(c x + d y) , , e devem satisfazer para que a função
seja holomorfa. Isso significa que a função deve ser diferenciável em um ponto específico e satisfazer certas condições matemáticas conhecidas como Equações de Cauchy-Riemann.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função f(z) = u(x, y) + i v(x, y) em suas partes real e imaginária. Podemos escrever como:
onde:
  • é a parte real da função.
  • é a parte imaginária da função.

Passo 3

Para verificar se partial upartial x = a partial upartial y = b partial vpartial x = c partial vpartial y = d é holomorfa, precisamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e . Vamos fazer isso:

Passo 4

Agora, aplicamos as Equações de Cauchy-Riemann, que são condições necessárias e suficientes para que uma função seja holomorfa. As equações são:
partial upartial x = partial vpartial y partial upartial y = -partial vpartial x
Substituindo as derivadas que calculamos:
a = d b = -c

Resposta

Para que a função a = d e b = -c seja holomorfa, as constantes reais devem satisfazer as seguintes condições:

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