Demonstra-se que
é holomorfa em
se, e somente se,
é diferenciável em
e, nesse caso,
em
ou seja,
em
, por (2.29). Portanto, uma condição necessária e suficiente para que
seja holomorfa é a seguinte: o coeficiente de
deve nulo em (2.30), isto é,
deve ser proporcional a
, onde
é o coeficiente de proporcionalidade.
Como exercício, determine que condições as constantes reais
e
devem satisfazer para que a função
seja holomorfa.
Como exercício, determine que condições as constantes reais
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Queremos descobrir quais condições as constantes reais
,
,
e
devem satisfazer para que a função
seja holomorfa. Isso significa que a função deve ser diferenciável em um ponto específico e satisfazer certas condições matemáticas conhecidas como Equações de Cauchy-Riemann.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função
em suas partes real e imaginária. Podemos escrever
como:
onde:
-
é a parte real da função. -
é a parte imaginária da função.
Passo 3
Para verificar se
é holomorfa, precisamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
. Vamos fazer isso:
Passo 4
Agora, aplicamos as Equações de Cauchy-Riemann, que são condições necessárias e suficientes para que uma função seja holomorfa. As equações são:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Resposta
Para que a função
seja holomorfa, as constantes reais devem satisfazer as seguintes condições:
Exercícios relacionados
Resolva as integrais:
Obtenha as equaçōes das retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto
.
Demonstre que
onde
é o operador laplaciano.
Determine uma função
tal que
.
Resolução
Portanto,
Essa condição é equivalente às condições de Cauchy-Riemann, isto é, (2.2) da página 8.
Uma função é harmônica quando o seu operador laplaciano é nulo, ou seja, , conforme definido em (2.31). Demonstra-se que, se uma função é holomorfa, então ela é harmônica, pelas condições de CauchyRiemann supracitadas. ↩︎