Obtenha as equaçōes das retas tangente e normal ao gráfico da função f(x) = x^2 / 2 + 1 no ponto (2,3).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes e normais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função , que representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. A derivada de é calculada da seguinte forma:

Passo 3

Agora que temos a derivada , podemos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto substituindo :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 4

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação para encontrar a equação da reta tangente:
Portanto, a equação da reta tangente é .

Passo 5

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrar a inclinação da reta normal, usamos o fato de que as inclinações de retas perpendiculares são negativas recíprocas. Então,

Passo 6

Com a inclinação e o mesmo ponto , usamos novamente a equação ponto-inclinação para encontrar a equação da reta normal:
Portanto, a equação da reta normal é .

Resposta

As equações das retas são:
  • Reta tangente:
  • Reta normal:

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