Obtenha as equaçōes das retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes e normais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
, que representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. A derivada de
é calculada da seguinte forma:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, podemos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
substituindo
:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 4
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação para encontrar a equação da reta tangente:
Portanto, a equação da reta tangente é
.
Passo 5
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrar a inclinação da reta normal, usamos o fato de que as inclinações de retas perpendiculares são negativas recíprocas. Então,
Passo 6
Com a inclinação
e o mesmo ponto
, usamos novamente a equação ponto-inclinação para encontrar a equação da reta normal:
Portanto, a equação da reta normal é
.
Resposta
As equações das retas são:
- Reta tangente:
- Reta normal: