Obtenha as equaçōes das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangentes e normais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função , que representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. A derivada de é calculada da seguinte forma:

Passo 3

Agora que temos a derivada , podemos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto substituindo :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 4

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação para encontrar a equação da reta tangente:
Portanto, a equação da reta tangente é .

Passo 5

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrar a inclinação da reta normal, usamos o fato de que as inclinações de retas perpendiculares são negativas recíprocas. Então,

Passo 6

Com a inclinação e o mesmo ponto , usamos novamente a equação ponto-inclinação para encontrar a equação da reta normal:
Portanto, a equação da reta normal é .

Resposta

As equações das retas são:
  • Reta tangente:
  • Reta normal:

Exercícios relacionados

Nos exercícios 8 e 9 ache o trabalho total realizado pelo campo de forças ao deslocar uma partícula ao longo de um arco da curva dada. Suponha que o arco seja medido em metros e a força seja medida em newtons.
é e é
Resolva as integrais:
Demonstra-se que é holomorfa em se, e somente se, é diferenciável em e, nesse caso,
em ou seja,
em , por (2.29). Portanto, uma condição necessária e suficiente para que seja holomorfa é a seguinte: o coeficiente de deve nulo em (2.30), isto é, deve ser proporcional a , onde é o coeficiente de proporcionalidade.
Como exercício, determine que condições as constantes reais e devem satisfazer para que a função
seja holomorfa.