Demonstração Demonstre em detalhes que
* com as operações usuais, é um espaço vetorial.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos demonstrar que
, que é o conjunto de todas as matrizes 2x2, com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar se
os satisfaz.
Passo 2
Vamos começar definindo o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto junto com duas operações (adição e multiplicação por escalar) que satisfazem oito propriedades chamadas axiomas. Esses axiomas garantem que o conjunto tem uma estrutura que permite combinar elementos de maneira consistente.
Passo 3
O primeiro axioma que vamos verificar é a fechamento pela adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes quaisquer em
e as somarmos, o resultado também deve estar em
.
Seja
e
em
.
A soma também é uma matriz 2x2. Portanto,
é fechado pela adição.
A soma
Passo 4
O segundo axioma é o fechamento pela multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos uma matriz em
por um número real (escalar), o resultado deve estar também em
.
Seja
em
e
um escalar.
A multiplicação também é uma matriz 2x2. Portanto,
é fechado pela multiplicação por escalar.
A multiplicação
Passo 5
Agora, vamos verificar o axioma da comutatividade da adição. Isso significa que a ordem em que somamos duas matrizes não altera o resultado.
Tomemos
. Então,
e
.
Como a ordem da soma dos números reais não altera o resultado, temos .
e
Como a ordem da soma dos números reais não altera o resultado, temos
Passo 6
O próximo axioma é o axioma associativo da adição. Isso significa que a maneira como agrupamos três matrizes ao somar não altera o resultado.
Sejam
.
Então,
,
pois a soma de cada entrada será a mesma independente de como agrupamos as matrizes.
Então,
pois a soma de cada entrada será a mesma independente de como agrupamos as matrizes.
Passo 7
Vamos verificar o existência do elemento neutro da adição, que é a matriz zero. A matriz zero
deve satisfazer
para qualquer
.
De fato, somando qualquer matriz com
não altera os seus elementos. Portanto, a matriz zero existe em
.
Passo 8
O existência dos inversos aditivos é o próximo axioma. Para cada matriz
, deve existir uma matriz
tal que
.
Se
, então
.
Somando e
obtemos a matriz zero
, então os inversos aditivos existem.
Somando
Passo 9
Vamos agora verificar o axioma distributivo da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Isso significa que
para qualquer escalar
e matrizes
.
Calculando ambos os lados:
,
e
.
Como , os dois lados são iguais.
e
Como
Passo 10
O axioma distributivo da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares diz que
para quaisquer escalares
e matriz
.
Calculando ambos os lados:
,
e
.
Como , os dois lados são iguais.
e
Como
Passo 11
Finalmente, vamos verificar o axioma de compatibilidade da multiplicação por escalar, que afirma que
para quaisquer escalares
e matriz
.
Calculando ambos os lados:
,
e
.
Os dois lados são iguais.
e
Os dois lados são iguais.
Passo 12
Todos os axiomas foram verificados e satisfeitos. Portanto, concluímos que
com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
Resposta
Exercícios relacionados
Para quais valores de
o conjunto
é L.I.?
Demonstre que em um determinado espaço vetorial
, o elemento oposto de um vetor é único.
Toda matriz diagonal é simétrica.
(k) Toda matriz diagonal é ao mesmo tempo uma matriz triangular inferior e triangular superior.
(k) Toda matriz diagonal é ao mesmo tempo uma matriz triangular inferior e triangular superior.
Em vez de usar as definições usuais de soma e multiplicação por escalar em
, defina essas duas operações, como mostrado abaixo.
(a)
(a)
(b)
©
Com cada uma dessas novas definições,
é um espaço vetorial? Justifique suas respostas.