Demonstração Demonstre em detalhes que * com as operações usuais, é um espaço vetorial.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos demonstrar que , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2, com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar se os satisfaz.

Passo 2

Vamos começar definindo o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto junto com duas operações (adição e multiplicação por escalar) que satisfazem oito propriedades chamadas axiomas. Esses axiomas garantem que o conjunto tem uma estrutura que permite combinar elementos de maneira consistente.

Passo 3

O primeiro axioma que vamos verificar é a fechamento pela adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes quaisquer em e as somarmos, o resultado também deve estar em .
Seja e em .
A soma também é uma matriz 2x2. Portanto, é fechado pela adição.

Passo 4

O segundo axioma é o fechamento pela multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos uma matriz em por um número real (escalar), o resultado deve estar também em .
Seja em e um escalar.
A multiplicação também é uma matriz 2x2. Portanto, é fechado pela multiplicação por escalar.

Passo 5

Agora, vamos verificar o axioma da comutatividade da adição. Isso significa que a ordem em que somamos duas matrizes não altera o resultado.
Tomemos . Então,

e
.
Como a ordem da soma dos números reais não altera o resultado, temos .

Passo 6

O próximo axioma é o axioma associativo da adição. Isso significa que a maneira como agrupamos três matrizes ao somar não altera o resultado.
Sejam .
Então,
,
pois a soma de cada entrada será a mesma independente de como agrupamos as matrizes.

Passo 7

Vamos verificar o existência do elemento neutro da adição, que é a matriz zero. A matriz zero deve satisfazer para qualquer .
De fato, somando qualquer matriz com não altera os seus elementos. Portanto, a matriz zero existe em .

Passo 8

O existência dos inversos aditivos é o próximo axioma. Para cada matriz , deve existir uma matriz tal que .
Se , então .
Somando e obtemos a matriz zero , então os inversos aditivos existem.

Passo 9

Vamos agora verificar o axioma distributivo da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Isso significa que para qualquer escalar e matrizes .
Calculando ambos os lados:
,
e
.
Como , os dois lados são iguais.

Passo 10

O axioma distributivo da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares diz que para quaisquer escalares e matriz .
Calculando ambos os lados:
,
e
.
Como , os dois lados são iguais.

Passo 11

Finalmente, vamos verificar o axioma de compatibilidade da multiplicação por escalar, que afirma que para quaisquer escalares e matriz .
Calculando ambos os lados:
,
e
.
Os dois lados são iguais.

Passo 12

Todos os axiomas foram verificados e satisfeitos. Portanto, concluímos que com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por escalar é um espaço vetorial.

Resposta

com as operações usuais é, de fato, um espaço vetorial.

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Em vez de usar as definições usuais de soma e multiplicação por escalar em , defina essas duas operações, como mostrado abaixo.
(a)
(b)
©
Com cada uma dessas novas definições, é um espaço vetorial? Justifique suas respostas.