Para quais valores de alpha o conjunto C=u, v é L.I.?

Passo 1

Então, vamos descobrir para quais valores de alpha o conjunto C = u, v é linearmente independente. Isso envolve conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre independência linear de vetores. Vamos precisar saber quando dois vetores não são combinações lineares um do outro.

Passo 2

Dois vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é quando ambos os coeficientes são zero. Ou seja, se resolvermos a equação a cdot u + b cdot v = 0 e a única solução for a = b = 0, então os vetores são lineares independentes.

Passo 3

Vamos supor que os vetores u e v são definidos da seguinte forma:
u = 1 alpha , v = alpha 1
Agora, montamos a equação:
a cdot 1 alpha + b cdot alpha 1 = 0 0
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
a + balpha = 0 aalpha + b = 0

Passo 4

Para que o único solução seja a = b = 0, o determinante da matriz formada pelos vetores u e v precisa ser diferente de zero. A matriz é:
1 & alpha alpha & 1
O determinante dessa matriz é calculado por:
det = 1 cdot 1 - alpha cdot alpha = 1 - alpha^2

Passo 5

Para que os vetores sejam linearmente independentes, precisamos que o determinante seja diferente de zero:
1 - alpha^2 neq 0 implies alpha^2 neq 1 implies alpha neq pm 1

Resposta

O conjunto C = u, v é linearmente independente para todos os valores de alpha exceto quando alpha = 1 ou alpha = -1.

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