Demonstre que em um determinado espaço vetorial
, o elemento oposto de um vetor é único.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que em qualquer espaço vetorial
, o elemento oposto de um vetor é único. Basicamente, a gente precisa provar que para qualquer vetor
em
, existe apenas um vetor
que, quando somado com
, dá o vetor nulo
. Vamos usar os conceitos de espaço vetorial e as propriedades das operações nele definidas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembremos que em um espaço vetorial, para cada vetor
existe um vetor oposto, que chamamos de
, tal que:
Aqui,
é o vetor nulo, que é o elemento neutro da adição.
Passo 3
Agora, vamos supor que existam dois vetores opostos de
, digamos
e
, que satisfazem:
Nosso objetivo é mostrar que
, ou seja, que esses dois vetores opostos são, na verdade, iguais.
Passo 4
Vamos usar a propriedade da subtração de vetores. Se subtrairmos
de ambos os lados da segunda equação, temos:
Mas sabemos que
também, pelo que:
Isso mostra que os dois vetores opostos são iguais.
Resposta
Portanto, em qualquer espaço vetorial
, o elemento oposto de um vetor
é único.