Demonstre que em um determinado espaço vetorial V, o elemento oposto de um vetor é único.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que em qualquer espaço vetorial , o elemento oposto de um vetor é único. Basicamente, a gente precisa provar que para qualquer vetor em , existe apenas um vetor que, quando somado com , dá o vetor nulo . Vamos usar os conceitos de espaço vetorial e as propriedades das operações nele definidas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembremos que em um espaço vetorial, para cada vetor v + (-v) = 0 existe um vetor oposto, que chamamos de , tal que:
Aqui, é o vetor nulo, que é o elemento neutro da adição.

Passo 3

Agora, vamos supor que existam dois vetores opostos de v + w = 0 e v + w' = 0 , digamos e , que satisfazem:
Nosso objetivo é mostrar que , ou seja, que esses dois vetores opostos são, na verdade, iguais.

Passo 4

Vamos usar a propriedade da subtração de vetores. Se subtrairmos v + w' = 0 implies w' = -v de ambos os lados da segunda equação, temos:
w' = w
Mas sabemos que também, pelo que:
Isso mostra que os dois vetores opostos são iguais.

Resposta

Portanto, em qualquer espaço vetorial , o elemento oposto de um vetor é único.

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