Demonstre que em um determinado espaço vetorial , o elemento oposto de um vetor é único.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que em qualquer espaço vetorial , o elemento oposto de um vetor é único. Basicamente, a gente precisa provar que para qualquer vetor em , existe apenas um vetor que, quando somado com , dá o vetor nulo . Vamos usar os conceitos de espaço vetorial e as propriedades das operações nele definidas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembremos que em um espaço vetorial, para cada vetor existe um vetor oposto, que chamamos de , tal que:
Aqui, é o vetor nulo, que é o elemento neutro da adição.
Passo 3
Agora, vamos supor que existam dois vetores opostos de , digamos e , que satisfazem:
Nosso objetivo é mostrar que , ou seja, que esses dois vetores opostos são, na verdade, iguais.
Passo 4
Vamos usar a propriedade da subtração de vetores. Se subtrairmos de ambos os lados da segunda equação, temos:
Mas sabemos que também, pelo que:
Isso mostra que os dois vetores opostos são iguais.
Resposta
Portanto, em qualquer espaço vetorial , o elemento oposto de um vetor é único.