Toda matriz diagonal é simétrica.
(k) Toda matriz diagonal é ao mesmo tempo uma matriz triangular inferior e triangular superior.

Passo 1

Beleza, a gente tem que falar sobre matrizes diagonais e entender por que elas são tanto triangulares inferiores quanto triangulares superiores. Vamos usar conceitos de álgebra linear para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz diagonal. É uma matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Por exemplo:
Aqui, apenas os elementos , e estão na diagonal, e o resto é zero.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é uma matriz triangular superior. É uma matriz onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Olhando o exemplo acima, podemos ver que isso é verdade, porque todos os elementos abaixo da diagonal (as posições , , etc.) são zero.

Passo 4

Da mesma forma, uma matriz triangular inferior tem todos os elementos acima da diagonal principal iguais a zero. No caso da matriz diagonal, os elementos acima da diagonal também são zero, então ela é triangular inferior.

Passo 5

Como vimos, uma matriz diagonal tem todos os elementos fora da diagonal iguais a zero, o que significa que ela satisfaz as condições tanto para ser triangular superior quanto triangular inferior.

Resposta

Toda matriz diagonal é ao mesmo tempo uma matriz triangular inferior e triangular superior porque todos os elementos fora da diagonal principal são zero, atendendo assim às definições de ambas as matrizes triangulares.

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Em vez de usar as definições usuais de soma e multiplicação por escalar em , defina essas duas operações, como mostrado abaixo.
(a)
(b)
©
Com cada uma dessas novas definições, é um espaço vetorial? Justifique suas respostas.
Determinar, caso exista, o ponto de interseção das retas e :
a) e
b) e
c) e
d) e
e) e
f) e