Toda matriz diagonal é simétrica.
(k) Toda matriz diagonal é ao mesmo tempo uma matriz triangular inferior e triangular superior.
Passo 1
Beleza, a gente tem que falar sobre matrizes diagonais e entender por que elas são tanto triangulares inferiores quanto triangulares superiores. Vamos usar conceitos de álgebra linear para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz diagonal. É uma matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Por exemplo:
Aqui, apenas os elementos , e estão na diagonal, e o resto é zero.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é uma matriz triangular superior. É uma matriz onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Olhando o exemplo acima, podemos ver que isso é verdade, porque todos os elementos abaixo da diagonal (as posições , , etc.) são zero.
Passo 4
Da mesma forma, uma matriz triangular inferior tem todos os elementos acima da diagonal principal iguais a zero. No caso da matriz diagonal, os elementos acima da diagonal também são zero, então ela é triangular inferior.
Passo 5
Como vimos, uma matriz diagonal tem todos os elementos fora da diagonal iguais a zero, o que significa que ela satisfaz as condições tanto para ser triangular superior quanto triangular inferior.
Resposta
Toda matriz diagonal é ao mesmo tempo uma matriz triangular inferior e triangular superior porque todos os elementos fora da diagonal principal são zero, atendendo assim às definições de ambas as matrizes triangulares.