Em vez de usar as definições usuais de soma e multiplicação por escalar em , defina essas duas operações, como mostrado abaixo.
(a)
(b)
©
Com cada uma dessas novas definições, é um espaço vetorial? Justifique suas respostas.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício sobre espaços vetoriais. A gente vai analisar se, com certas definições de soma e multiplicação por escalar em , esse conjunto passa a ser um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar lembrar das propriedades que definem um espaço vetorial e ver se elas são satisfeitas em cada caso.

Passo 2

Vamos começar pelo item (a). Aqui, a soma de dois vetores e é definida como e a multiplicação por escalar é .

Passo 3

Agora, vamos verificar se essas operações satisfazem as propriedades de um espaço vetorial. Primeiro, a soma é comutativa e associativa, e existe um elemento neutro (o vetor ). Porém, ao olhar para a multiplicação por escalar, vemos que não distribui corretamente o escalar sobre a segunda componente. Por exemplo, se , então , que não é o vetor nulo a menos que . Isso viola a propriedade de que multiplicar por zero deve dar o vetor nulo.

Passo 4

Passando para o item (b), a soma é definida como e a multiplicação por escalar é . Aqui, a soma não depende do segundo vetor e sempre resulta em , independentemente de e . Isso já quebra várias propriedades, como a existência de inversos aditivos, já que não podemos “desfazer” a soma para obter o vetor original.

Passo 5

Finalmente, no item ©, a soma é a mesma do item (a), ou seja, , mas a multiplicação por escalar é . Essa definição de multiplicação por escalar é problemática porque, por exemplo, se for negativo, não conseguimos calcular a raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais. Além disso, a multiplicação por escalar não preserva as propriedades lineares necessárias.

Resposta

Nenhum dos três casos define como um espaço vetorial sob as operações apresentadas, pois cada um deles falha em satisfazer pelo menos uma das propriedades necessárias para um espaço vetorial.

Exercícios relacionados

Toda matriz diagonal é simétrica.
(k) Toda matriz diagonal é ao mesmo tempo uma matriz triangular inferior e triangular superior.
Demonstração Demonstre em detalhes que * com as operações usuais, é um espaço vetorial.
Determinar, caso exista, o ponto de interseção das retas e :
a) e
b) e
c) e
d) e
e) e
f) e
Para quais das seguintes definiçōes pode-se afirmar que é um espaço vetorial? Justifique sua resposta. e