Vamos resolver um exercício que pede para determinar a posição relativa entre duas retas no espaço tridimensional. As retas são dadas nas formas paramétricas:
Retas:
Conteúdo da Matéria:
Equações paramétricas de retas no espaço tridimensional.
Análise de posições relativas entre retas: se são paralelas, coincidentes, ou se se cruzam em um ponto (interseção) ou são skews (não paralelas e não se cruzam).
O que vamos precisar:
Entender as direções das retas a partir dos coeficientes dos parâmetros.
Verificar se as retas são paralelas comparando suas direções.
Se não forem paralelas, resolver um sistema de equações para ver se existe um ponto comum.
Passo 2
Identificando as Direções das Retas
Primeiro, vamos identificar os vetores direção das retas e . A direção de uma reta paramétrica é dada pelos coeficientes dos parâmetros nas equações de , e .
Para a reta :
Para a reta :
Teoria Aplicada:
Dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número tal que .
Passo 3
Verificando se as Retas São Paralelas
Vamos verificar se existe um escalar que satisfaça:
Resolvendo a primeira equação:
Verificando na segunda equação:
Como não existe um único valor de que satisfaz todas as equações simultaneamente, concluímos que os vetores direção não são múltiplos escalares, ou seja, as retas não são paralelas.
Passo 4
Verificando se as Retas Se Cruzam (Interseção)
Como as retas não são paralelas, existe a possibilidade de elas se cruzarem em um ponto ou serem skews (não se cruzam).
Para determinar se há um ponto de interseção, precisamos encontrar valores de e tais que:
Teoria Aplicada:
Resolver o sistema de equações para encontrar se há valores de e que satisfazem todas as três equações simultaneamente.
Passo 5
Resolvendo o Sistema de Equações
Vamos resolver as equações uma a uma.
Primeira equação:
Segunda equação:
Substituindo da equação (1):
Substituindo na equação (1):
Terceira equação:
Substituindo e :
Como encontramos valores de e que satisfazem todas as equações, isso significa que as retas e se cruzam neste ponto.
Resposta
As retas e se cruzam no ponto . Portanto, elas são intersectantes.