Determinar a posição relativa entre as retas r:rlx & =2+4 t y & =-1+t z & =3-2 t, t in R e s:rlx & =5+t y & =2-2 t z & =-1+2 t, t in R.

Passo 1

Entendendo o Enunciado e o Conteúdo Envolvido
Vamos resolver um exercício que pede para determinar a posição relativa entre duas retas no espaço tridimensional. As retas são dadas nas formas paramétricas:
Retas:
r: x = 2 + 4t y = -1 + t z = 3 - 2t , t in R
s: x = 5 + t y = 2 - 2t z = -1 + 2t , t in R
Conteúdo da Matéria:
  • Equações paramétricas de retas no espaço tridimensional.
  • Análise de posições relativas entre retas: se são paralelas, coincidentes, ou se se cruzam em um ponto (interseção) ou são skews (não paralelas e não se cruzam).
O que vamos precisar:
  • Entender as direções das retas a partir dos coeficientes dos parâmetros.
  • Verificar se as retas são paralelas comparando suas direções.
  • Se não forem paralelas, resolver um sistema de equações para ver se existe um ponto comum.

Passo 2

Identificando as Direções das Retas
Primeiro, vamos identificar os vetores direção das retas dr = 4 1 -2 e ds = 1 -2 2 . A direção de uma reta paramétrica é dada pelos coeficientes dos parâmetros nas equações de , e .
Para a reta :
Para a reta :
Teoria Aplicada:
  • Dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número tal que .

Passo 3

Verificando se as Retas São Paralelas
Vamos verificar se existe um escalar 4 = k cdot 1 1 = k cdot (-2) -2 = k cdot 2 que satisfaça:
4 = k cdot 1 implies k = 4
Resolvendo a primeira equação:
1 = 4 cdot (-2) implies 1 = -8 (Falso)
Verificando na segunda equação:
Como não existe um único valor de que satisfaz todas as equações simultaneamente, concluímos que os vetores direção não são múltiplos escalares, ou seja, as retas não são paralelas.

Passo 4

Verificando se as Retas Se Cruzam (Interseção)
Como as retas não são paralelas, existe a possibilidade de elas se cruzarem em um ponto ou serem skews (não se cruzam).
Para determinar se há um ponto de interseção, precisamos encontrar valores de 2 + 4t = 5 + s -1 + t = 2 - 2s 3 - 2t = -1 + 2s e tais que:
Teoria Aplicada:
  • Resolver o sistema de equações para encontrar se há valores de e que satisfazem todas as três equações simultaneamente.

Passo 5

Resolvendo o Sistema de Equações
Vamos resolver as equações uma a uma.
Primeira equação:
2 + 4t = 5 + s
s = 4t - 3 (1)
Segunda equação:
-1 + t = 2 - 2s
Substituindo -1 + t = 2 - 2(4t - 3) da equação (1):
-1 + t = 2 - 8t + 6
-1 + t = 8 - 8t
t + 8t = 8 + 1
9t = 9
t = 1
s = 4(1) - 3 = 1
Substituindo 3 - 2t = -1 + 2s na equação (1):
3 - 2(1) = -1 + 2(1)
Terceira equação:
1 = 1 (Verdadeiro)
Substituindo e :
Como encontramos valores de e que satisfazem todas as equações, isso significa que as retas e se cruzam neste ponto.

Resposta

As retas e se cruzam no ponto . Portanto, elas são intersectantes.

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