Determinar a equação do plano pi, que contém o ponto P=(2,5,3) e é perpendicular à reta r, interseção dos planos pi1: x-2 y+z-1=0 e pi2: 3 x+2 y-3 z+5=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para encontrar a equação de um plano, chamado de pi, que passa pelo ponto P=(2,5,3) e é perpendicular a uma reta r. Essa reta r é a interseção de dois planos dados: pi1: x - 2y + z - 1 = 0 e pi2: 3x + 2y - 3z + 5 = 0. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre planos, retas e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a direção da reta r, que é a interseção das duas retas pi1 e pi2. A direção dessa reta pode ser obtida pelo produto vetorial dos vetores normais dos planos pi1 e pi2.
Os vetores normais são:
  • Para pi1: n1 = (1, -2, 1)
  • Para pi2: n2 = (3, 2, -3)
Vamos calcular o produto vetorial n1 times n2:
d = n1 times n2 = i & j & k 1 & -2 & 1 3 & 2 & -3
d = i((-2)(-3) - (1)(2)) - j((1)(-3) - (1)(3)) + k((1)(2) - (-2)(3))
d = i(6 - 2) - j(-3 - 3) + k(2 + 6) = i(4) - j(-6) + k(8)
d = (4, 6, 8)
Podemos simplificar dividindo por 2: d = (2, 3, 4)

Passo 3

Agora que temos a direção da reta r, sabemos que o plano pi é perpendicular a essa reta. Isso significa que o vetor normal do plano pi é paralelo ao vetor direção da reta r, ou seja, n = (2, 3, 4).
A equação geral de um plano é dada por:
2(x - x0) + 3(y - y0) + 4(z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) é um ponto que o plano passa. Sabemos que o ponto P=(2,5,3) está no plano pi.

Passo 4

Vamos substituir as coordenadas de P na equação do plano:
2(x - 2) + 3(y - 5) + 4(z - 3) = 0
Expandindo:
2x - 4 + 3y - 15 + 4z - 12 = 0
Simplificando os termos constantes:
2x + 3y + 4z - 31 = 0

Resposta

A equação do plano pi é 2x + 3y + 4z - 31 = 0.

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