Determine o centro, as medidas do eixo real e do eixo imaginário, a excentricidade e os focos das hipérboles
x^25-y^24=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro, as medidas do eixo real e do eixo imaginário, a excentricidade e os focos da hipérbole dada pela equação x^25-y^24=1. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica sobre hipérboles para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. A equação geral da hipérbole é (x-h)^2a^2 - (y-k)^2b^2 = 1, onde (h, k) é o centro. No nosso caso, não tem (h, k), então o centro é na origem, ou seja, (0, 0).

Passo 3

Agora, vamos encontrar as medidas do eixo real. Na equação x^2a^2 - y^2b^2 = 1, o valor de a^2 está embaixo do x^2, que é 5. Então, a = raiz5. O eixo real tem comprimento 2a, então 2raiz5.

Passo 4

Vamos para o eixo imaginário. O valor de b^2 está embaixo do y^2, que é 4. Portanto, b = raiz4 = 2. O eixo imaginário tem comprimento 2b, ou seja, 4.

Passo 5

Agora, a excentricidade da hipérbole. A excentricidade ( e) é dada por e = ca, onde c = raiza^2 + b^2. Vamos calcular c:
c = raiz5 + 4 = raiz9 = 3
Então, e = 3raiz5. Podemos racionalizar se quiser:
e = 3raiz55

Passo 6

Por fim, vamos encontrar os focos da hipérbole. Para hipérboles horizontais como a nossa, os focos ficam a uma distância c do centro na direção do eixo real. Já sabemos que c = 3 e o centro é (0, 0). Então, os focos são:
(3, 0) e (-3, 0)

Resposta

  • Centro: (0, 0)
  • Eixo real: Comprimento 2raiz5
  • Eixo imaginário: Comprimento 4
  • Excentricidade: e = 3raiz55
  • Focos: (3, 0) e (-3, 0)

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