Determine o centro, as medidas do eixo real e do eixo imaginário, a excentricidade e os focos das hipérboles
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro, as medidas do eixo real e do eixo imaginário, a excentricidade e os focos da hipérbole dada pela equação
. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica sobre hipérboles para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. A equação geral da hipérbole é
, onde
é o centro. No nosso caso, não tem
, então o centro é na origem, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as medidas do eixo real. Na equação
, o valor de
está embaixo do
, que é 5. Então,
. O eixo real tem comprimento
, então
.
Passo 4
Vamos para o eixo imaginário. O valor de
está embaixo do
, que é 4. Portanto,
. O eixo imaginário tem comprimento
, ou seja,
.
Passo 5
Agora, a excentricidade da hipérbole. A excentricidade (
) é dada por
, onde
. Vamos calcular
:
Então,
. Podemos racionalizar se quiser:
Passo 6
Por fim, vamos encontrar os focos da hipérbole. Para hipérboles horizontais como a nossa, os focos ficam a uma distância
do centro na direção do eixo real. Já sabemos que
e o centro é
. Então, os focos são:
Resposta
- Centro:
- Eixo real: Comprimento
- Eixo imaginário: Comprimento
- Excentricidade:
- Focos:
e