Obtenha uma equação que descreva o conjunto
, reunião das retas paralelas ao vetor
que são tangentes à superfície esférica
. Sugestão: Impor a condição que qualquer geratriz da superfície intersecta
em um único ponto (discriminante nulo).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver é encontrar uma equação que descreva o conjunto
, que é a união de todas as retas paralelas ao vetor
e que são tangentes à esfera
. Basicamente, queremos saber quais linhas que seguem na direção desse vetor tocam a esfera em apenas um ponto. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas no espaço e condições de tangência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como parametrizar uma reta no espaço. Uma reta paralela ao vetor
pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui,
é um ponto qualquer na reta, e
é o parâmetro que varia ao longo da reta. Nosso objetivo é encontrar todas as possíveis
que tornam a reta tangente à esfera
.
Passo 3
Agora, vamos substituir a expressão da reta na equação da esfera. A equação da esfera é:
Substituindo
na equação da esfera, temos:
Passo 4
Expandindo os termos, vamos simplificar a equação:
Somando tudo isso na equação da esfera:
Passo 5
Agrupando os termos semelhantes:
Isso simplifica para:
Passo 6
Essa é uma equação quadrática em
. Para que a reta seja tangente à esfera, essa equação deve ter exatamente uma solução, ou seja, o discriminante (
) deve ser zero. O discriminante de uma equação
é dado por:
Então, vamos calcular o discriminante dessa equação:
Passo 7
Vamos simplificar o discriminante:
Primeiro, calculamos
:
E o segundo termo:
Substituindo na equação do discriminante:
Passo 8
Agora, vamos simplificar tudo:
Então, a equação fica:
Podemos multiplicar todos os termos por
para facilitar:
Passo 9
Para simplificar ainda mais, podemos dividir todos os termos por 4:
Essa é a equação que descreve o conjunto
, ou seja, todas as retas paralelas ao vetor
que são tangentes à esfera
.
Resposta
A equação que descreve o conjunto
é:
Exercícios relacionados
No espaço vetorial
consideremos os seguintes subespaços vetoriais:
Determine as dimensões de:
e
.
Demonstrar que a equação
define um cone
de vértice situado na origem dos eixos. Faça um esboço. Em seguida, dê uma parametrização para
.
Se
é uma base de um espaço vetorial, mostre que
também é uma base desse espaço.
Seja
o espaço gerado pelos polinômios
,
e
. Encontre uma base e a dimensão de
.