Obtenha uma equação que descreva o conjunto , reunião das retas paralelas ao vetor que são tangentes à superfície esférica . Sugestão: Impor a condição que qualquer geratriz da superfície intersecta em um único ponto (discriminante nulo).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver é encontrar uma equação que descreva o conjunto , que é a união de todas as retas paralelas ao vetor e que são tangentes à esfera . Basicamente, queremos saber quais linhas que seguem na direção desse vetor tocam a esfera em apenas um ponto. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas no espaço e condições de tangência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como parametrizar uma reta no espaço. Uma reta paralela ao vetor pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui, é um ponto qualquer na reta, e é o parâmetro que varia ao longo da reta. Nosso objetivo é encontrar todas as possíveis que tornam a reta tangente à esfera .

Passo 3

Agora, vamos substituir a expressão da reta na equação da esfera. A equação da esfera é:
Substituindo na equação da esfera, temos:

Passo 4

Expandindo os termos, vamos simplificar a equação:
Somando tudo isso na equação da esfera:

Passo 5

Agrupando os termos semelhantes:
Isso simplifica para:

Passo 6

Essa é uma equação quadrática em . Para que a reta seja tangente à esfera, essa equação deve ter exatamente uma solução, ou seja, o discriminante ( ) deve ser zero. O discriminante de uma equação é dado por:
Então, vamos calcular o discriminante dessa equação:

Passo 7

Vamos simplificar o discriminante:
Primeiro, calculamos :
E o segundo termo:
Substituindo na equação do discriminante:

Passo 8

Agora, vamos simplificar tudo:
Então, a equação fica:
Podemos multiplicar todos os termos por para facilitar:

Passo 9

Para simplificar ainda mais, podemos dividir todos os termos por 4:
Essa é a equação que descreve o conjunto , ou seja, todas as retas paralelas ao vetor que são tangentes à esfera .

Resposta

A equação que descreve o conjunto é:

Exercícios relacionados

No espaço vetorial consideremos os seguintes subespaços vetoriais:
Determine as dimensões de: e .
Demonstrar que a equação define um cone de vértice situado na origem dos eixos. Faça um esboço. Em seguida, dê uma parametrização para .
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Seja o espaço gerado pelos polinômios , e . Encontre uma base e a dimensão de .