Obtenha uma equação que descreva o conjunto Omega, reunião das retas paralelas ao vetor u= (2,-1,1) que são tangentes à superfície esférica S: x^2+y^2+z^2-1=0. Sugestão: Impor a condição que qualquer geratriz da superfície intersecta S em um único ponto (discriminante nulo).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver é encontrar uma equação que descreva o conjunto , que é a união de todas as retas paralelas ao vetor e que são tangentes à esfera . Basicamente, queremos saber quais linhas que seguem na direção desse vetor tocam a esfera em apenas um ponto. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas no espaço e condições de tangência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como parametrizar uma reta no espaço. Uma reta paralela ao vetor r(t) = r0 + t cdot u pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui, é um ponto qualquer na reta, e é o parâmetro que varia ao longo da reta. Nosso objetivo é encontrar todas as possíveis que tornam a reta tangente à esfera .

Passo 3

Agora, vamos substituir a expressão da reta na equação da esfera. A equação da esfera é:
x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0
Substituindo (x0 + 2t)^2 + (y0 - t)^2 + (z0 + t)^2 - 1 = 0 na equação da esfera, temos:

Passo 4

Expandindo os termos, vamos simplificar a equação:
(x0 + 2t)^2 = x0^2 + 4x0 t + 4t^2
(y0 - t)^2 = y0^2 - 2y0 t + t^2
(z0 + t)^2 = z0^2 + 2z0 t + t^2
Somando tudo isso na equação da esfera:
x0^2 + 4x0 t + 4t^2 + y0^2 - 2y0 t + t^2 + z0^2 + 2z0 t + t^2 - 1 = 0

Passo 5

Agrupando os termos semelhantes:
(4t^2 + t^2 + t^2) + (4x0 t - 2y0 t + 2z0 t) + (x0^2 + y0^2 + z0^2 - 1) = 0
Isso simplifica para:
6t^2 + (4x0 - 2y0 + 2z0)t + (x0^2 + y0^2 + z0^2 - 1) = 0

Passo 6

Essa é uma equação quadrática em De. Para que a reta seja tangente à esfera, essa equação deve ter exatamente uma solução, ou seja, o discriminante ( De) deve ser zero. O discriminante de uma equação é dado por:
Então, vamos calcular o discriminante dessa equação:

Passo 7

Vamos simplificar o discriminante:
Primeiro, calculamos (4x0 - 2y0 + 2z0)^2 = 16x0^2 + 4y0^2 + 4z0^2 - 16x0 y0 + 16x0 z0 - 8y0 z0 :
4 cdot 6 cdot (x0^2 + y0^2 + z0^2 - 1) = 24x0^2 + 24y0^2 + 24z0^2 - 24
E o segundo termo:
16x0^2 + 4y0^2 + 4z0^2 - 16x0 y0 + 16x0 z0 - 8y0 z0 - (24x0^2 + 24y0^2 + 24z0^2 - 24) = 0
Substituindo na equação do discriminante:

Passo 8

Agora, vamos simplificar tudo:
16x0^2 - 24x0^2 = -8x0^2
4y0^2 - 24y0^2 = -20y0^2
4z0^2 - 24z0^2 = -20z0^2
-16x0 y0 + 16x0 z0 - 8y0 z0 + 24 = 0
Então, a equação fica:
-8x0^2 - 20y0^2 - 20z0^2 - 16x0 y0 + 16x0 z0 - 8y0 z0 + 24 = 0
Podemos multiplicar todos os termos por 8x0^2 + 20y0^2 + 20z0^2 + 16x0 y0 - 16x0 z0 + 8y0 z0 - 24 = 0 para facilitar:

Passo 9

Para simplificar ainda mais, podemos dividir todos os termos por 4:
2x0^2 + 5y0^2 + 5z0^2 + 4x0 y0 - 4x0 z0 + 2y0 z0 - 6 = 0
Essa é a equação que descreve o conjunto , ou seja, todas as retas paralelas ao vetor que são tangentes à esfera .

Resposta

A equação que descreve o conjunto 2x^2 + 5y^2 + 5z^2 + 4xy - 4xz + 2yz - 6 = 0 é:

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