Sobre a função f(x) = x^3 - 3x + 2 :
(b) Estudar a concavidade da função e pontos de inflexão.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos estudar a concavidade dessa função e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade e identificar os pontos de inflexão.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada da função, , que nos dá a inclinação da função em cada ponto. A derivada de é , a derivada de é , e a derivada de é 0. Então,

Passo 3

Agora, calculamos a segunda derivada, , que nos indica a concavidade da função. A derivada de é e a derivada de é 0. Portanto,

Passo 4

Para determinar a concavidade, analisamos o sinal de :
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Então, vamos resolver :
Esse valor de é um ponto potencial de inflexão.

Passo 5

Vamos verificar a concavidade nos intervalos determinados por :
  • Para , por exemplo, :
[ f’’(-1) = 6(-1) = -6 < 0 \implies ) côncava para baixo.
  • Para , por exemplo, :
[ f’’(1) = 6(1) = 6 > 0 \implies ) côncava para cima.
Como a concavidade muda de côncava para baixo para côncava para cima quando passamos por , temos um ponto de inflexão nesse ponto.
Para encontrar a coordenada :
Então, o ponto de inflexão é .

Resposta

A função é côncava para baixo quando e côncava para cima quando . Além disso, possui um ponto de inflexão em .

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