Sobre a função
:
(b) Estudar a concavidade da função e pontos de inflexão.
(b) Estudar a concavidade da função e pontos de inflexão.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos estudar a concavidade dessa função e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade e identificar os pontos de inflexão.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada da função,
, que nos dá a inclinação da função em cada ponto. A derivada de
é
, a derivada de
é
, e a derivada de
é 0. Então,
Passo 3
Agora, calculamos a segunda derivada,
, que nos indica a concavidade da função. A derivada de
é
e a derivada de
é 0. Portanto,
Passo 4
Para determinar a concavidade, analisamos o sinal de
:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Então, vamos resolver
:
Esse valor de
é um ponto potencial de inflexão.
Passo 5
Vamos verificar a concavidade nos intervalos determinados por
:
- Para
, por exemplo, :
[ f’’(-1) = 6(-1) = -6 < 0 \implies ) côncava para baixo.
- Para
, por exemplo, :
[ f’’(1) = 6(1) = 6 > 0 \implies ) côncava para cima.
Como a concavidade muda de côncava para baixo para côncava para cima quando passamos por
, temos um ponto de inflexão nesse ponto.
Para encontrar a coordenada
:
Então, o ponto de inflexão é
.
Resposta
A função
é côncava para baixo quando
e côncava para cima quando
. Além disso, possui um ponto de inflexão em
.