Esboçar o gráfico das seguintes funções:
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos esboçar o gráfico da função
. Isso envolve entender como a função se comporta, encontrar pontos importantes como interceptações e pontos de máximo ou mínimo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra e cálculo, como encontrar raízes da função e derivadas para identificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as interceptações da função, ou seja, onde o gráfico cruza os eixos
e
.
- Interceptação com o eixo
: Isso acontece quando . Então, o gráfico cruza o eixo no ponto .
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interceptações com o eixo
, ou seja, os valores de
para os quais
.
Temos a equação:
Resolver essa equação de quarto grau pode ser complicado, mas vamos tentar fatorar.
Vamos tentar valores possíveis para
:
-
Para
: Então,é uma raiz. -
Dividindo o polinômio por
usando divisão polinomial ou fatoração, encontramos: Agora, vamos resolver.
Testando
novamente:
Então,
é uma raiz dupla.
Dividindo novamente por
:
Agora, resolvemos
.
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como a raiz é negativa, não temos soluções reais aqui.
Portanto, as interceptações com o eixo
são apenas
(com multiplicidade 2).
Passo 4
Vamos agora analisar o comportamento da função para
se aproximando de
e
.
Como o termo de maior grau é
e seu coeficiente é positivo, sabemos que:
- Quando
tende para , tende para . - Quando
tende para , também tende para .
Isso significa que o gráfico “subirá” nos dois lados.
Passo 5
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo, vamos calcular a derivada da função e encontrar onde ela é zero.
A função é:
A derivada é:
Vamos igualar a zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Para determinar se é máximo ou mínimo, podemos usar o teste da segunda derivada.
A segunda derivada é:
Para
:
Como a segunda derivada é positiva, temos um ponto de mínimo em
.
Calculando
nesse ponto:
Então, o ponto de mínimo é
.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Intercepta o eixo
em . - Intercepta o eixo
em com multiplicidade 2. - Tem um ponto de mínimo em
. - O gráfico sobe para
nos dois extremos.
Resposta
O gráfico da função
intercepta o eixo
em
, o eixo
em
, apresenta um ponto de mínimo em
e sobe para
tanto para
indo para
quanto para
. Com essas características, podemos desenhar o esboço do gráfico da função.