Esboçar o gráfico das seguintes funções:
f) y = x^4 - 32x + 48

Passo 1

Beleza, vamos esboçar o gráfico da função . Isso envolve entender como a função se comporta, encontrar pontos importantes como interceptações e pontos de máximo ou mínimo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra e cálculo, como encontrar raízes da função e derivadas para identificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as interceptações da função, ou seja, onde o gráfico cruza os eixos e .
  • Interceptação com o eixo : Isso acontece quando . Então, o gráfico cruza o eixo no ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as interceptações com o eixo , ou seja, os valores de para os quais .
Temos a equação:
Resolver essa equação de quarto grau pode ser complicado, mas vamos tentar fatorar.
Vamos tentar valores possíveis para :
  • Para :
    Então, é uma raiz.
  • Dividindo o polinômio por usando divisão polinomial ou fatoração, encontramos:
    Agora, vamos resolver .
Testando novamente:
Então, é uma raiz dupla.
Dividindo novamente por :
Agora, resolvemos .
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como a raiz é negativa, não temos soluções reais aqui.
Portanto, as interceptações com o eixo são apenas (com multiplicidade 2).

Passo 4

Vamos agora analisar o comportamento da função para se aproximando de e .
Como o termo de maior grau é e seu coeficiente é positivo, sabemos que:
  • Quando tende para , tende para .
  • Quando tende para , também tende para .
Isso significa que o gráfico “subirá” nos dois lados.

Passo 5

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo, vamos calcular a derivada da função e encontrar onde ela é zero.
A função é:
A derivada é:
Vamos igualar a zero:
Então, temos um ponto crítico em .
Para determinar se é máximo ou mínimo, podemos usar o teste da segunda derivada.
A segunda derivada é:
Para :
Como a segunda derivada é positiva, temos um ponto de mínimo em .
Calculando nesse ponto:
Então, o ponto de mínimo é .

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Intercepta o eixo em .
  • Intercepta o eixo em com multiplicidade 2.
  • Tem um ponto de mínimo em .
  • O gráfico sobe para nos dois extremos.

Resposta

O gráfico da função intercepta o eixo em , o eixo em , apresenta um ponto de mínimo em e sobe para tanto para indo para quanto para . Com essas características, podemos desenhar o esboço do gráfico da função.

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