Demonstrar que as funções: f1(t)=2 t-1 f2(t)=t+cos 2 t
f3(t)=3-e^3 t f4(t)=-t+e^3 t
Conformam uma base de V.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem quatro funções:
f1(t) = 2t - 1 f2(t) = t + cos 2t f3(t) = 3 - e^3t f4(t) = -t + e^3t
E o que a gente precisa fazer é mostrar que essas quatro funções formam uma base do espaço vetorial . Mas o que significa uma base? Basicamente, uma base é um conjunto de vetores (ou funções, no nosso caso) que são linearmente independentes e que geram todo o espaço .
Para resolver isso, vamos seguir dois passos principais:
  1. Mostrar que as funções são linearmente independentes.
  2. Mostrar que elas geram o espaço .
Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre linearmente independentes. Um conjunto de funções é linearmente independente se nenhuma função do conjunto pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Isso significa que a única solução para a equação:
c1f1(t) + c2f2(t) + c3f3(t) + c4f4(t) = 0
é c1(2t - 1) + c2(t + cos 2t) + c3(3 - e^3t) + c4(-t + e^3t) = 0 .
Então, vamos montar essa equação com as nossas funções:
Vamos simplificar essa expressão para ver se conseguimos encontrar os coeficientes .

Passo 3

Vamos distribuir os coeficientes:
2c1t - c1 + c2t + c2cos 2t + 3c3 - c3e^3t - c4t + c4e^3t = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
  • Termos com (2c1 + c2 - c4)t + c2cos 2t + (-c1 + 3c3) + (-c3 + c4)e^3t = 0 :
  • Termos com :
  • Termos constantes:
  • Termos com :
Assim, a equação fica:

Passo 4

Para que essa equação seja válida para todo , os coeficientes de cada termo devem ser iguais a zero. Então, podemos escrever o seguinte sistema de equações:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:
  4. Coeficiente de :
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de .

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da equação 2:
  2. Substituindo na equação 1:
  3. Da equação 3:
  4. Substituindo na equação para :
  5. Da equação 4:
Agora que sabemos que :
E já tínhamos .

Passo 6

Encontramos que a única solução para o sistema é . Isso significa que as funções são linearmente independentes.
Agora, precisamos verificar se elas geram o espaço . Como temos quatro funções e assumindo que o espaço tem dimensão 4, concluímos que elas também geram . Portanto, as quatro funções formam uma base de .

Resposta

As funções , , e são linearmente independentes e geram o espaço . Portanto, elas conformam uma base de .

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