Demonstrar que as funções:
Conformam uma base de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem quatro funções:
E o que a gente precisa fazer é mostrar que essas quatro funções formam uma base do espaço vetorial
. Mas o que significa uma base? Basicamente, uma base é um conjunto de vetores (ou funções, no nosso caso) que são linearmente independentes e que geram todo o espaço
.
Para resolver isso, vamos seguir dois passos principais:
- Mostrar que as funções são linearmente independentes.
- Mostrar que elas geram o espaço
.
Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre linearmente independentes. Um conjunto de funções é linearmente independente se nenhuma função do conjunto pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Isso significa que a única solução para a equação:
é
.
Então, vamos montar essa equação com as nossas funções:
Vamos simplificar essa expressão para ver se conseguimos encontrar os coeficientes
.
Passo 3
Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
- Termos com
: - Termos com
: - Termos constantes:
- Termos com
:
Assim, a equação fica:
Passo 4
Para que essa equação seja válida para todo
, os coeficientes de cada termo devem ser iguais a zero. Então, podemos escrever o seguinte sistema de equações:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
- Coeficiente de
:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
.
Passo 5
Vamos resolver o sistema passo a passo:
- Da equação 2:
- Substituindo
na equação 1: → - Da equação 3:
→ - Substituindo
na equação para : - Da equação 4:
→ → →
Agora que sabemos que
:
E já tínhamos
.
Passo 6
Encontramos que a única solução para o sistema é
. Isso significa que as funções são linearmente independentes.
Agora, precisamos verificar se elas geram o espaço
. Como temos quatro funções e assumindo que o espaço
tem dimensão 4, concluímos que elas também geram
. Portanto, as quatro funções formam uma base de
.
Resposta
As funções
,
,
e
são linearmente independentes e geram o espaço
. Portanto, elas conformam uma base de
.