Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem quatro funções:
E o que a gente precisa fazer é mostrar que essas quatro funções formam uma base do espaço vetorial . Mas o que significa uma base? Basicamente, uma base é um conjunto de vetores (ou funções, no nosso caso) que são linearmente independentes e que geram todo o espaço .
Para resolver isso, vamos seguir dois passos principais:
Mostrar que as funções são linearmente independentes.
Mostrar que elas geram o espaço .
Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre linearmente independentes. Um conjunto de funções é linearmente independente se nenhuma função do conjunto pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Isso significa que a única solução para a equação:
é .
Então, vamos montar essa equação com as nossas funções:
Vamos simplificar essa expressão para ver se conseguimos encontrar os coeficientes .
Passo 3
Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Termos com :
Termos com :
Termos constantes:
Termos com :
Assim, a equação fica:
Passo 4
Para que essa equação seja válida para todo , os coeficientes de cada termo devem ser iguais a zero. Então, podemos escrever o seguinte sistema de equações:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Termo constante:
Coeficiente de :
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de .
Passo 5
Vamos resolver o sistema passo a passo:
Da equação 2:
Substituindo na equação 1: →
Da equação 3: →
Substituindo na equação para :
Da equação 4: → → →
Agora que sabemos que :
E já tínhamos .
Passo 6
Encontramos que a única solução para o sistema é . Isso significa que as funções são linearmente independentes.
Agora, precisamos verificar se elas geram o espaço . Como temos quatro funções e assumindo que o espaço tem dimensão 4, concluímos que elas também geram. Portanto, as quatro funções formam uma base de .
Resposta
As funções , , e são linearmente independentes e geram o espaço . Portanto, elas conformam uma base de .