Demonstrar que o hiperbolóide de uma folha
pode ser obtido pela rotação da hipérbole
em redor do eixo
, seguida de uma compressão uniforme do espaço em relação ao plano
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um hiperbolóide de uma folha dado pela equação:
A tarefa é mostrar que esse hiperbolóide pode ser obtido ao girar uma hipérbole específica em torno do eixo
e, depois, aplicar uma compressão uniforme no espaço em relação ao plano
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre rotações de figuras no espaço e transformações de escala.
Passo 2
Começamos com a hipérbole no plano
dada por:
Essa equação representa uma hipérbole que está apenas no plano
, ou seja, para
.
Passo 3
Agora, vamos girar essa hipérbole em torno do eixo
. Quando fazemos a rotação de uma curva no espaço, adicionamos a coordenada
de forma que ela mantenha a simetria ao redor do eixo de rotação. Nesse caso, ao girar a hipérbole, substituímos
por
. A equação resultante fica:
Essa é a equação de um hiperbolóide de uma folha com simetria circular em torno do eixo
.
Passo 4
Observe que na equação após a rotação, os termos
e
estão divididos pelo mesmo denominador
. Porém, na equação que queremos alcançar, o termo
está dividido por
em vez de
. Para ajustar isso, precisamos realizar uma compressão uniforme no espaço em relação ao plano
.
Passo 5
A compressão uniforme no plano
significa que vamos ajustar a escala na direção de
. Para fazer isso, aplicamos uma transformação de escala no eixo
por um fator
. Isso altera a equação para:
Resposta
Assim, demonstramos que o hiperbolóide de uma folha:
pode ser obtido rotacionando a hipérbole
em torno do eixo
e, em seguida, aplicando uma compressão uniforme no espaço em relação ao plano
.
Exercícios relacionados
Escreva as equações reduzidas das parábolas a seguir, dados
(e) o vértice e foco
.
(e) o vértice
Seja
a transformação linear definida por
Determine:
(b) .
(b)
Escreva a equação reduzida das hipérboles a seguir, dados
© os focos e
, e o comprimento
da corda por um dos focos, perpendicular a
.
© os focos
Escreva a equação reduzida da elipse, dados
(b) os focos e
, sabendo que a elipse passa pelo ponto
.
(b) os focos