Demonstrar que o hiperbolóide de uma folha pode ser obtido pela rotação da hipérbole em redor do eixo , seguida de uma compressão uniforme do espaço em relação ao plano .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um hiperbolóide de uma folha dado pela equação:
A tarefa é mostrar que esse hiperbolóide pode ser obtido ao girar uma hipérbole específica em torno do eixo e, depois, aplicar uma compressão uniforme no espaço em relação ao plano . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre rotações de figuras no espaço e transformações de escala.

Passo 2

Começamos com a hipérbole no plano dada por:
Essa equação representa uma hipérbole que está apenas no plano , ou seja, para .

Passo 3

Agora, vamos girar essa hipérbole em torno do eixo . Quando fazemos a rotação de uma curva no espaço, adicionamos a coordenada de forma que ela mantenha a simetria ao redor do eixo de rotação. Nesse caso, ao girar a hipérbole, substituímos por . A equação resultante fica:
Essa é a equação de um hiperbolóide de uma folha com simetria circular em torno do eixo .

Passo 4

Observe que na equação após a rotação, os termos e estão divididos pelo mesmo denominador . Porém, na equação que queremos alcançar, o termo está dividido por em vez de . Para ajustar isso, precisamos realizar uma compressão uniforme no espaço em relação ao plano .

Passo 5

A compressão uniforme no plano significa que vamos ajustar a escala na direção de . Para fazer isso, aplicamos uma transformação de escala no eixo por um fator . Isso altera a equação para:

Resposta

Assim, demonstramos que o hiperbolóide de uma folha:
pode ser obtido rotacionando a hipérbole em torno do eixo e, em seguida, aplicando uma compressão uniforme no espaço em relação ao plano .

Exercícios relacionados

Escreva as equações reduzidas das parábolas a seguir, dados
(e) o vértice e foco .
Seja a transformação linear definida por
Determine:
(b) .
Escreva a equação reduzida das hipérboles a seguir, dados
© os focos e , e o comprimento da corda por um dos focos, perpendicular a .
Escreva a equação reduzida da elipse, dados
(b) os focos e , sabendo que a elipse passa pelo ponto .