Demonstrar que o hiperbolóide de uma folha x^2a^2+y^2b^2-z^2c^2=1 pode ser obtido pela rotação da hipérbole x^2a^2-z^2c^2=1, y=0 em redor do eixo O z, seguida de uma compressão uniforme do espaço em relação ao plano O x z.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um hiperbolóide de uma folha dado pela equação:
x^2a^2 + y^2b^2 - z^2c^2 = 1
A tarefa é mostrar que esse hiperbolóide pode ser obtido ao girar uma hipérbole específica em torno do eixo e, depois, aplicar uma compressão uniforme no espaço em relação ao plano . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre rotações de figuras no espaço e transformações de escala.

Passo 2

Começamos com a hipérbole no plano x^2a^2 - z^2c^2 = 1, y = 0 dada por:
Essa equação representa uma hipérbole que está apenas no plano , ou seja, para .

Passo 3

Agora, vamos girar essa hipérbole em torno do eixo x^2 + y^2a^2 - z^2c^2 = 1 . Quando fazemos a rotação de uma curva no espaço, adicionamos a coordenada de forma que ela mantenha a simetria ao redor do eixo de rotação. Nesse caso, ao girar a hipérbole, substituímos por . A equação resultante fica:
Essa é a equação de um hiperbolóide de uma folha com simetria circular em torno do eixo .

Passo 4

Observe que na equação após a rotação, os termos e estão divididos pelo mesmo denominador . Porém, na equação que queremos alcançar, o termo está dividido por em vez de . Para ajustar isso, precisamos realizar uma compressão uniforme no espaço em relação ao plano .

Passo 5

A compressão uniforme no plano x^2a^2 + y^2b^2 - z^2c^2 = 1 significa que vamos ajustar a escala na direção de . Para fazer isso, aplicamos uma transformação de escala no eixo por um fator . Isso altera a equação para:

Resposta

Assim, demonstramos que o hiperbolóide de uma folha:
x^2a^2 + y^2b^2 - z^2c^2 = 1
pode ser obtido rotacionando a hipérbole em torno do eixo e, em seguida, aplicando uma compressão uniforme no espaço em relação ao plano .

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