Seja T: R^3 R^3 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(x+z, x-y, y)
Determine:
(b) T^2(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma transformação linear definida por . O que precisamos fazer aqui é encontrar , ou seja, aplicar a transformação duas vezes seguidas. Para isso, vamos precisar entender como aplicar transformações lineares e usar a composição delas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação T(x, y, z) = (x + z, x - y, y) uma vez no vetor . De acordo com a definição, temos:
Então, após a primeira aplicação, nosso vetor se torna .

Passo 3

Agora, para encontrar , precisamos aplicar a transformação novamente no resultado que acabamos de obter. Então, vamos aplicar no vetor .

Passo 4

Aplicando T(x + z, x - y, y) = ( (x + z) + y, (x + z) - (x - y), x - y ) em (x + z) + y = x + y + z , usamos a mesma regra:
(x + z) - (x - y) = x + z - x + y = y + z
Vamos simplificar cada componente:
  1. Primeiro componente:
x - y
  1. Segundo componente:
  1. Terceiro componente:

Passo 5

Então, juntando tudo, após a segunda aplicação da transformação T^2(x, y, z) = (x + y + z, y + z, x - y) , temos:

Resposta

A transformação é igual a .

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