Escreva as equações reduzidas das parábolas a seguir, dados
(e) o vértice
e foco
.
(e) o vértice
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar a equação reduzida de uma parábola que tem o vértice em
e o foco em
. Vamos precisar saber sobre parábolas, especialmente como relacionar o vértice e o foco para achar a equação da parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão a mesma distância do foco e da reta direta. Então, nossa missão é encontrar a equação que representa todos esses pontos.
Passo 3
Vamos começar calculando a distância entre o vértice
e o foco
. A fórmula para a distância entre dois pontos
e
é:
Aplicando os valores:
Passo 4
Agora, vamos determinar a reta direta. Sabemos que a reta direta está do lado oposto do vértice em relação ao foco e é perpendicular ao eixo de simetria da parábola. Como o eixo vai de
a
, com inclinação de 45 graus, a reta direta terá inclinação de -45 graus.
Como o vértice é
, a equação da reta direta é:
Para encontrar
, substituímos o vértice:
Então, a reta direta é:
Passo 5
A definição da parábola nos diz que para qualquer ponto
na parábola, a distância até o foco
é igual à distância até a reta direta
.
A distância do ponto
ao foco é:
A distância do ponto
à reta
é dada pela fórmula:
Passo 6
Igualando as duas distâncias:
Vamos elevar os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 7
Expandindo os termos:
Simplificando:
Tirando todos os termos para um lado:
Simplificando mais:
Resposta
A equação reduzida da parábola é:
Exercícios relacionados
Seja
a transformação linear definida por
Determine:
(b) .
(b)
Escreva as equações reduzidas das parábolas a seguir, dados
(d) dois pontos da parábola, e vértice
.
(d) dois pontos da parábola,
Demonstrar que o hiperbolóide de uma folha
pode ser obtido pela rotação da hipérbole
em redor do eixo
, seguida de uma compressão uniforme do espaço em relação ao plano
.
Escreva a equação reduzida das hipérboles a seguir, dados
© os focos e
, e o comprimento
da corda por um dos focos, perpendicular a
.
© os focos