Escreva as equações reduzidas das parábolas a seguir, dados
(e) o vértice e foco .

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a equação reduzida de uma parábola que tem o vértice em e o foco em . Vamos precisar saber sobre parábolas, especialmente como relacionar o vértice e o foco para achar a equação da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão a mesma distância do foco e da reta direta. Então, nossa missão é encontrar a equação que representa todos esses pontos.

Passo 3

Vamos começar calculando a distância entre o vértice e o foco . A fórmula para a distância entre dois pontos e é:
Aplicando os valores:

Passo 4

Agora, vamos determinar a reta direta. Sabemos que a reta direta está do lado oposto do vértice em relação ao foco e é perpendicular ao eixo de simetria da parábola. Como o eixo vai de a , com inclinação de 45 graus, a reta direta terá inclinação de -45 graus.
Como o vértice é , a equação da reta direta é:
Para encontrar , substituímos o vértice:
Então, a reta direta é:

Passo 5

A definição da parábola nos diz que para qualquer ponto na parábola, a distância até o foco é igual à distância até a reta direta .
A distância do ponto ao foco é:
A distância do ponto à reta é dada pela fórmula:

Passo 6

Igualando as duas distâncias:
Vamos elevar os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 7

Expandindo os termos:
Simplificando:
Tirando todos os termos para um lado:
Simplificando mais:

Resposta

A equação reduzida da parábola é:

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Determine:
(b) .
Escreva as equações reduzidas das parábolas a seguir, dados
(d) dois pontos da parábola, e vértice .
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Escreva a equação reduzida das hipérboles a seguir, dados
© os focos e , e o comprimento da corda por um dos focos, perpendicular a .