Escreva as equações reduzidas das parábolas a seguir, dados
(e) o vértice V=(1,0) e foco F=(2,1).

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a equação reduzida de uma parábola que tem o vértice em e o foco em . Vamos precisar saber sobre parábolas, especialmente como relacionar o vértice e o foco para achar a equação da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão a mesma distância do foco e da reta direta. Então, nossa missão é encontrar a equação que representa todos esses pontos.

Passo 3

Vamos começar calculando a distância entre o vértice d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e o foco d = raiz(2 - 1)^2 + (1 - 0)^2 = raiz1 + 1 = raiz2 . A fórmula para a distância entre dois pontos e é:
Aplicando os valores:

Passo 4

Agora, vamos determinar a reta direta. Sabemos que a reta direta está do lado oposto do vértice em relação ao foco e é perpendicular ao eixo de simetria da parábola. Como o eixo vai de y = -x + c a 0 = -1 + c Rightarrow c = 1 , com inclinação de 45 graus, a reta direta terá inclinação de -45 graus.
Como o vértice é y = -x + 1 , a equação da reta direta é:
Para encontrar , substituímos o vértice:
Então, a reta direta é:

Passo 5

A definição da parábola nos diz que para qualquer ponto raiz(x - 2)^2 + (y - 1)^2 na parábola, a distância até o foco |x + y - 1|raiz1^2 + (-1)^2 = |x + y - 1|raiz2 é igual à distância até a reta direta .
A distância do ponto ao foco é:
A distância do ponto à reta é dada pela fórmula:

Passo 6

Igualando as duas distâncias:
raiz(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = |x + y - 1|raiz2
Vamos elevar os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (x + y - 1)^22
Multiplicando ambos os lados por 2:
2(x - 2)^2 + 2(y - 1)^2 = (x + y - 1)^2

Passo 7

Expandindo os termos:
2(x^2 - 4x + 4) + 2(y^2 - 2y + 1) = x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y + 1
Simplificando:
2x^2 - 8x + 8 + 2y^2 - 4y + 2 = x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y + 1
Tirando todos os termos para um lado:
2x^2 - 8x + 8 + 2y^2 - 4y + 2 - x^2 - 2xy - y^2 + 2x + 2y - 1 = 0
Simplificando mais:
x^2 - 6x + y^2 - 2y + 9 - 2xy = 0

Resposta

A equação reduzida da parábola é:
x^2 - 6x + y^2 - 2y + 9 - 2xy = 0

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