Escreva a equação reduzida da elipse, dados
(b) os focos e , sabendo que a elipse passa pelo ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida da elipse sabendo que os focos estão em e , e que a elipse passa pelo ponto . Para isso, vamos usar os conceitos de elipses, especialmente a definição que diz que a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse até os dois focos é constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a definição de uma elipse é o conjunto de pontos cujo a soma das distâncias até dois pontos fixos chamados de focos é constante. Essa constante é igual a , onde é o semi-eixo maior da elipse.

Passo 3

Vamos calcular a soma das distâncias do ponto até os focos e .
A distância entre dois pontos e é dada por:

Passo 4

Calculando a distância de até :

Passo 5

Calculando a distância de até :

Passo 6

Agora, somamos essas duas distâncias para encontrar :

Passo 7

Sabemos que a distância entre os dois focos é , onde é a distância do centro até cada foco. Vamos calcular .
A distância entre e é:

Passo 8

Relacionamos , e na elipse com a fórmula:
Já temos e , então:

Passo 9

Agora, precisamos encontrar o centro da elipse. Como os focos são e , o centro está no ponto médio entre eles:

Passo 10

Com o centro , os valores de e , e sabendo que a elipse está inclinada, precisamos encontrar a inclinação da elipse. A inclinação é a mesma da linha que liga os focos, que passa por .
No entanto, para simplificar, vamos considerar a rotação da elipse para alinhar com os eixos coordenados. A equação padrão de uma elipse rotacionada é mais complexa, mas podemos utilizar a informação dos valores encontrados para escrever a equação geral.

Resposta

A equação reduzida da elipse é:

Exercícios relacionados

Escreva a equação reduzida das hipérboles a seguir, dados
© os focos e , e o comprimento da corda por um dos focos, perpendicular a .
Demonstrar que o hiperbolóide de uma folha pode ser obtido pela rotação da hipérbole em redor do eixo , seguida de uma compressão uniforme do espaço em relação ao plano .
Obtenha uma equação que descreva o conjunto , reunião das retas que contém o ponto e são tangentes à superfície esférica .
Seja o hiperbolóide de uma folha. Mostre que sua equação pode ser escrita como
e prove que:
(a) para cada número real , a solução do sistema
descreve uma reta .