Escreva a equação reduzida da elipse, dados
(b) os focos
e
, sabendo que a elipse passa pelo ponto
.
(b) os focos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida da elipse sabendo que os focos estão em
e
, e que a elipse passa pelo ponto
. Para isso, vamos usar os conceitos de elipses, especialmente a definição que diz que a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse até os dois focos é constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a definição de uma elipse é o conjunto de pontos cujo a soma das distâncias até dois pontos fixos chamados de focos é constante. Essa constante é igual a
, onde
é o semi-eixo maior da elipse.
Passo 3
Vamos calcular a soma das distâncias do ponto
até os focos
e
.
A distância entre dois pontos
e
é dada por:
Passo 4
Calculando a distância de
até
:
Passo 5
Calculando a distância de
até
:
Passo 6
Agora, somamos essas duas distâncias para encontrar
:
Passo 7
Sabemos que a distância entre os dois focos é
, onde
é a distância do centro até cada foco. Vamos calcular
.
A distância entre
e
é:
Passo 8
Relacionamos
,
e
na elipse com a fórmula:
Já temos
e
, então:
Passo 9
Agora, precisamos encontrar o centro da elipse. Como os focos são
e
, o centro
está no ponto médio entre eles:
Passo 10
Com o centro
, os valores de
e
, e sabendo que a elipse está inclinada, precisamos encontrar a inclinação da elipse. A inclinação é a mesma da linha que liga os focos, que passa por
.
No entanto, para simplificar, vamos considerar a rotação da elipse para alinhar com os eixos coordenados. A equação padrão de uma elipse rotacionada é mais complexa, mas podemos utilizar a informação dos valores encontrados para escrever a equação geral.
Resposta
A equação reduzida da elipse é:
Exercícios relacionados
Escreva a equação reduzida das hipérboles a seguir, dados
© os focos e
, e o comprimento
da corda por um dos focos, perpendicular a
.
© os focos
Demonstrar que o hiperbolóide de uma folha
pode ser obtido pela rotação da hipérbole
em redor do eixo
, seguida de uma compressão uniforme do espaço em relação ao plano
.
Obtenha uma equação que descreva o conjunto
, reunião das retas que contém o ponto
e são tangentes à superfície esférica
.
Seja
o hiperbolóide de uma folha. Mostre que sua equação pode ser escrita como
e prove que:
(a) para cada número real , a solução do sistema
(a) para cada número real
descreve uma reta
.