Escreva a equação reduzida das hipérboles a seguir, dados
© os focos e , e o comprimento da corda por um dos focos, perpendicular a .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de hipérboles juntos. A gente precisa encontrar a equação reduzida da hipérbole, ou seja, a forma padrão dela. Para isso, vamos usar as informações que temos: os focos estão nos pontos e em , e o comprimento da corda perpendicular à linha que une os focos é . Vamos precisar entender como os focos, a distância entre eles e o comprimento dessa corda se relacionam para montar a equação da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação reduzida de uma hipérbole. Quando os focos estão alinhados horizontalmente, a equação padrão é:
Aqui, é a distância do centro da hipérbole até os vértices, e está relacionado à abertura da hipérbole. Além disso, sabemos que a relação entre , e (a distância do centro aos focos) é dada por:

Passo 3

Vamos identificar com base nos focos dados. Os focos estão em , então a distância do centro (que é a origem, ) a cada foco é . Então temos:

Passo 4

Agora, precisamos usar o comprimento da corda que é perpendicular à linha dos focos (a linha dos focos é o eixo ). Essa corda é uma linha vertical na hipérbole, o que significa que ela está em uma posição onde é constante.
Em uma hipérbole, o comprimento dessa corda pode ser relacionado a . A fórmula para o comprimento da corda perpendicular ao eixo principal em um ponto onde é:
Dado que , temos:

Passo 5

Vamos agora relacionar e usando a relação que já mencionamos. Sabemos que , então:
Temos duas equações agora:
Vamos resolver essas equações para encontrar e .

Passo 6

Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 81 para eliminar denominadores:
Rearranjando:

Passo 7

Agora, vamos resolver essa equação quadrática em termos de . Vamos chamar :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:
Portanto:
Considerando a solução positiva:
Assim, , então .

Passo 8

Agora que temos , podemos encontrar usando a relação que encontramos anteriormente:
Portanto, .

Passo 9

Com e , podemos escrever a equação reduzida da hipérbole:

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:

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Escreva as equações reduzidas das parábolas a seguir, dados
(e) o vértice e foco .
Escreva a equação reduzida da elipse, dados
(b) os focos e , sabendo que a elipse passa pelo ponto .
Obtenha uma equação que descreva o conjunto , reunião das retas que contém o ponto e são tangentes à superfície esférica .