Escreva a equação reduzida das hipérboles a seguir, dados
© os focos F1 e F2,( pm 5,0), e o comprimento L=9 / 2 da corda por um dos focos, perpendicular a F1 F2.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de hipérboles juntos. A gente precisa encontrar a equação reduzida da hipérbole, ou seja, a forma padrão dela. Para isso, vamos usar as informações que temos: os focos estão nos pontos e em , e o comprimento da corda perpendicular à linha que une os focos é . Vamos precisar entender como os focos, a distância entre eles e o comprimento dessa corda se relacionam para montar a equação da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação reduzida de uma hipérbole. Quando os focos estão alinhados horizontalmente, a equação padrão é:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Aqui, c^2 = a^2 + b^2 é a distância do centro da hipérbole até os vértices, e está relacionado à abertura da hipérbole. Além disso, sabemos que a relação entre , e (a distância do centro aos focos) é dada por:

Passo 3

Vamos identificar c = 5 com base nos focos dados. Os focos estão em , então a distância do centro (que é a origem, ) a cada foco é . Então temos:

Passo 4

Agora, precisamos usar o comprimento da corda L = 2b^2a que é perpendicular à linha dos focos (a linha dos focos é o eixo 92 = 2b^2a ). Essa corda é uma linha vertical na hipérbole, o que significa que ela está em uma posição onde é constante.
Em uma hipérbole, o comprimento dessa corda pode ser relacionado a . A fórmula para o comprimento da corda perpendicular ao eixo principal em um ponto onde é:
Dado que , temos:

Passo 5

Vamos agora relacionar 25 = a^2 + b^2 e usando a relação que já mencionamos. Sabemos que , então:
Temos duas equações agora:
Vamos resolver essas equações para encontrar e .

Passo 6

Primeiro, da primeira equação:
92 = 2b^2a implies a = 4b^29
Agora, substituímos 25 = ( 4b^29 )^2 + b^2 na segunda equação:
25 = 16b^481 + b^2
Simplificando:
2025 = 16b^4 + 81b^2
Multiplicando tudo por 81 para eliminar denominadores:
16b^4 + 81b^2 - 2025 = 0
Rearranjando:

Passo 7

Agora, vamos resolver essa equação quadrática em termos de 16x^2 + 81x - 2025 = 0 . Vamos chamar x = -81 pm raiz81^2 + 4 cdot 16 cdot 20252 cdot 16 :
81^2 = 6561 4 cdot 16 cdot 2025 = 129600 Discriminante = 6561 + 129600 = 136161
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = -81 pm raiz13616132 raiz136161 = 369
Calculando o discriminante:
x = -81 pm 36932
Então:
x = 28832 = 9
Portanto:
Considerando a solução positiva:
Assim, , então .

Passo 8

Agora que temos a = 4b^29 = 4 cdot 99 = 4 , podemos encontrar usando a relação que encontramos anteriormente:
Portanto, .

Passo 9

Com x^24^2 - y^23^2 = 1 x^216 - y^29 = 1 e , podemos escrever a equação reduzida da hipérbole:

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:
x^216 - y^29 = 1

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