Escreva a equação reduzida das hipérboles a seguir, dados
© os focos
e
, e o comprimento
da corda por um dos focos, perpendicular a
.
© os focos
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de hipérboles juntos. A gente precisa encontrar a equação reduzida da hipérbole, ou seja, a forma padrão dela. Para isso, vamos usar as informações que temos: os focos estão nos pontos
e
em
, e o comprimento da corda perpendicular à linha que une os focos é
. Vamos precisar entender como os focos, a distância entre eles e o comprimento dessa corda se relacionam para montar a equação da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação reduzida de uma hipérbole. Quando os focos estão alinhados horizontalmente, a equação padrão é:
Aqui,
é a distância do centro da hipérbole até os vértices, e
está relacionado à abertura da hipérbole. Além disso, sabemos que a relação entre
,
e
(a distância do centro aos focos) é dada por:
Passo 3
Vamos identificar
com base nos focos dados. Os focos estão em
, então a distância do centro (que é a origem,
) a cada foco é
. Então temos:
Passo 4
Agora, precisamos usar o comprimento da corda
que é perpendicular à linha dos focos (a linha dos focos é o eixo
). Essa corda é uma linha vertical na hipérbole, o que significa que ela está em uma posição onde
é constante.
Em uma hipérbole, o comprimento dessa corda pode ser relacionado a
. A fórmula para o comprimento da corda perpendicular ao eixo principal em um ponto onde
é:
Dado que
, temos:
Passo 5
Vamos agora relacionar
e
usando a relação
que já mencionamos. Sabemos que
, então:
Temos duas equações agora:
Vamos resolver essas equações para encontrar
e
.
Passo 6
Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 81 para eliminar denominadores:
Rearranjando:
Passo 7
Agora, vamos resolver essa equação quadrática em termos de
. Vamos chamar
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:
Portanto:
Considerando a solução positiva:
Assim,
, então
.
Passo 8
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a relação que encontramos anteriormente:
Portanto,
.
Passo 9
Com
e
, podemos escrever a equação reduzida da hipérbole:
Resposta
A equação reduzida da hipérbole é:
Exercícios relacionados
Demonstrar que o hiperbolóide de uma folha
pode ser obtido pela rotação da hipérbole
em redor do eixo
, seguida de uma compressão uniforme do espaço em relação ao plano
.
Escreva as equações reduzidas das parábolas a seguir, dados
(e) o vértice e foco
.
(e) o vértice
Escreva a equação reduzida da elipse, dados
(b) os focos e
, sabendo que a elipse passa pelo ponto
.
(b) os focos
Obtenha uma equação que descreva o conjunto
, reunião das retas que contém o ponto
e são tangentes à superfície esférica
.