Demonstrar: Se é um inteiro ímpar, então . [sugestão: escreva

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente prove que, se é um inteiro ímpar, então divide . Isso está ligado à teoria dos números, especificamente sobre divisibilidade e propriedades de números ímpares. Para resolver, vamos precisar usar a forma de representar um número ímpar, que é , onde é um inteiro.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por na expressão que queremos provar: . Ficaria assim:
Isso ajuda a simplificar a expressão usando a forma ímpar de .

Passo 3

Agora, vamos expandir :
Subtraindo 1 dessa expressão:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Vamos fatorar o que podemos nessa expressão:
Aqui, puxamos 4k como fator comum. Agora, temos:

Passo 5

Observemos que , e são três números consecutivos, o que garante que entre eles há pelo menos um múltiplo de 2 e um múltiplo de 3. Já temos o fator 4 na frente, o que nos dá múltiplo de 8. Juntando isso:
éú
Portanto, divide .

Resposta

Então, mostramos que se é um inteiro ímpar, então realmente divide .

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