Demonstrar que das medianas de qualquer triângulo se pode construir um triângulo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que, a partir das três medianas de qualquer triângulo, é possível construir outro triângulo. Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria, especialmente sobre medianas e a propriedade das desigualdades em triângulos.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é uma mediana em um triângulo. Uma mediana é um segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Em qualquer triângulo, existem três medianas.
Passo 3
Agora, para construir um triângulo a partir das medianas, precisamos verificar se esses três segmentos satisfazem a condição das desigualdades triangulares. Isso significa que a soma de quaisquer duas medianas deve ser maior que a terceira mediana.
Passo 4
Vamos assumir que as medianas têm comprimentos , e . Para formar um triângulo com esses comprimentos, devemos ter:
Passo 5
Sabemos que em qualquer triângulo, as medianas sempre satisfazem essas desigualdades. Isso ocorre porque as medianas estão relacionadas aos lados do triângulo original e, devido às propriedades dos triângulos, elas sempre conseguem formar um novo triângulo.
Passo 6
Portanto, como as três medianas cumprem as condições necessárias das desigualdades triangulares, podemos concluir que é possível construir um triângulo com elas.
Resposta
Sim, das medianas de qualquer triângulo se pode construir um triângulo, já que elas satisfazem as condições das desigualdades triangulares.