Determine os pontos da reta r: y=2 x+1 que estão à distância 2 da reta s: 3 x-2 y+1=0.

Passo 1

Então, a gente tem duas retas aqui: a reta que é e a reta que é . A pergunta é para encontrar os pontos na reta que estão a uma distância de 2 unidades da reta . Vamos usar um pouco de geometria analítica para resolver isso, especificamente a fórmula da distância entre um ponto e uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância de um ponto d = |A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2 até uma reta . A fórmula é:
Aqui, é a distância.

Passo 3

Como queremos os pontos na reta , sabemos que qualquer ponto nessa reta pode ser escrito como . Vamos substituir esses valores na fórmula da distância para encontrar .

Passo 4

A reta 2 = |3x - 2(2x + 1) + 1|raiz3^2 + (-2)^2 está na forma , então , e . Substituindo na fórmula da distância:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
3x - 4x - 2 + 1 = -x - 1
Então, a equação fica:
2 = |-x - 1|raiz9 + 4 Rightarrow 2 = | -x - 1 |raiz13

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 2raiz13 = | -x - 1 | :
-x - 1 = 2raiz13 ou -x - 1 = -2raiz13
Isso nos dá duas equações:

Passo 7

Resolvendo a primeira equação:
-x = 2raiz13 + 1 Rightarrow x = -2raiz13 - 1
Resolvendo a segunda equação:
-x = -2raiz13 + 1 Rightarrow x = 2raiz13 - 1

Passo 8

Agora que temos os valores de y = 2(-2raiz13 - 1) + 1 = -4raiz13 - 2 + 1 = -4raiz13 - 1 , vamos encontrar os respectivos valores de y = 2(2raiz13 - 1) + 1 = 4raiz13 - 2 + 1 = 4raiz13 - 1 usando a equação da reta , .
Para :
Para :

Resposta

Os pontos na reta que estão a uma distância de 2 unidades da reta são e .

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