Determine o ângulo formado pelas retas.
: e ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para descobrir o ângulo formado entre duas retas no espaço. A matéria envolvida aqui é geometria analítica, especificamente o estudo de vetores e o cálculo do ângulo entre eles. Para resolver isso, a gente vai precisar identificar os vetores diretores das retas e usar uma fórmula que relaciona esses vetores com o ângulo que eles formam.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e . A reta está dada de forma paramétrica:
O vetor diretor de é o que multiplica o parâmetro em cada coordenada, ou seja, .
Já a reta está apresentada na forma simétrica:
Aqui, o denominador de cada fração indica as componentes do vetor diretor. Então, o vetor diretor de é .

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores das duas retas, vamos lembrar como calcular o ângulo entre dois vetores. A fórmula que usamos é baseada no produto escalar (ou produto interno) dos vetores:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as normas (ou magnitudes) dos vetores.
  • é o ângulo entre os vetores.

Passo 4

Vamos calcular cada parte dessa fórmula. Primeiro, o produto escalar:
Em seguida, as normas dos vetores:
Agora, substituindo na fórmula do cosseno:
Para encontrar o ângulo , tiramos o arco cosseno desse valor:

Resposta

O ângulo formado pelas retas e é aproximadamente .

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