Determine o ângulo formado pelas retas. : e s: x4=y+62=z-12;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para descobrir o ângulo formado entre duas retas no espaço. A matéria envolvida aqui é geometria analítica, especificamente o estudo de vetores e o cálculo do ângulo entre eles. Para resolver isso, a gente vai precisar identificar os vetores diretores das retas e usar uma fórmula que relaciona esses vetores com o ângulo que eles formam.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas r: l x = -2 - 3t y = 2t z = 3 - 4t e -3 2 -4 . A reta s: x4 = y + 62 = z - 12 está dada de forma paramétrica:
4 2 2
O vetor diretor de é o que multiplica o parâmetro em cada coordenada, ou seja, .
Já a reta está apresentada na forma simétrica:
Aqui, o denominador de cada fração indica as componentes do vetor diretor. Então, o vetor diretor de é .
Passo 3
Agora que temos os vetores diretores das duas retas, vamos lembrar como calcular o ângulo entre dois vetores. A fórmula que usamos é baseada no produto escalar (ou produto interno) dos vetores:
cos(theta) = u cdot v||u|| , ||v||
Onde:
é o produto escalar dos vetores.
e são as normas (ou magnitudes) dos vetores.
é o ângulo entre os vetores.
Passo 4
Vamos calcular cada parte dessa fórmula. Primeiro, o produto escalar:
u cdot v = (-3)(4) + (2)(2) + (-4)(2) = -12 + 4 - 8 = -16