Determine o ângulo formado pelas retas.
r : lx=-2-3 t y=2 t z=3-4 t e s: x4=y+62=z-12;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para descobrir o ângulo formado entre duas retas no espaço. A matéria envolvida aqui é geometria analítica, especificamente o estudo de vetores e o cálculo do ângulo entre eles. Para resolver isso, a gente vai precisar identificar os vetores diretores das retas e usar uma fórmula que relaciona esses vetores com o ângulo que eles formam.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas r: l x = -2 - 3t y = 2t z = 3 - 4t e -3 2 -4 . A reta s: x4 = y + 62 = z - 12 está dada de forma paramétrica:
4 2 2
O vetor diretor de é o que multiplica o parâmetro em cada coordenada, ou seja, .
Já a reta está apresentada na forma simétrica:
Aqui, o denominador de cada fração indica as componentes do vetor diretor. Então, o vetor diretor de é .

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores das duas retas, vamos lembrar como calcular o ângulo entre dois vetores. A fórmula que usamos é baseada no produto escalar (ou produto interno) dos vetores:
cos(theta) = u cdot v||u|| , ||v||
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as normas (ou magnitudes) dos vetores.
  • é o ângulo entre os vetores.

Passo 4

Vamos calcular cada parte dessa fórmula. Primeiro, o produto escalar:
u cdot v = (-3)(4) + (2)(2) + (-4)(2) = -12 + 4 - 8 = -16
Em seguida, as normas dos vetores:
||u|| = raiz(-3)^2 + 2^2 + (-4)^2 = raiz9 + 4 + 16 = raiz29
||v|| = raiz4^2 + 2^2 + 2^2 = raiz16 + 4 + 4 = raiz24 = 2raiz6
Agora, substituindo na fórmula do cosseno:
cos(theta) = -16raiz29 times 2raiz6 = -162raiz174 = -8raiz174 approx -813.19 approx -0.606
Para encontrar o ângulo theta = arccos(-0.606) approx 127.5^circ , tiramos o arco cosseno desse valor:

Resposta

O ângulo formado pelas retas e é aproximadamente .

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