Escreva, se possível, o vetor t=(1,2,-1) como combinação linear dos vetores u, v, w.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa escrever o vetor t = (1, 2, -1) como uma combinação linear dos vetores u, v e w. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre combinação linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações que nos ajude a encontrar os coeficientes que multiplicam cada vetor u, v e w para chegar no vetor t.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa combinar linearmente. Se queremos que t seja uma combinação linear de u, v e w, isso quer dizer que existem números reais a, b e c tais que:
t = au + bv + cw

Passo 3

Vamos supor que os vetores u, v e w são dados por:
u = (u1, u2, u3) v = (v1, v2, v3) w = (w1, w2, w3)
Substituindo na equação da combinação linear, temos:
(1, 2, -1) = a(u1, u2, u3) + b(v1, v2, v3) + c(w1, w2, w3)

Passo 4

Isso nos dá um sistema de três equações com três incógnitas:
a u1 + b v1 + c w1 = 1 a u2 + b v2 + c w2 = 2 a u3 + b v3 + c w3 = -1

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema. Podemos usar métodos como substituição, eliminação ou matriz. Vamos usar a matriz aumentada e aplicar a regra de Cramer ou a eliminação de Gauss.

Passo 6

Montando a matriz aumentada:
u1 & v1 & w1 & | & 1 u2 & v2 & w2 & | & 2 u3 & v3 & w3 & | & -1
Aplicamos as operações necessárias para encontrar os valores de a, b e c.

Passo 7

Após resolver a matriz, encontramos os valores de a, b e c que satisfazem o sistema. Esses valores são os coeficientes que multiplicam cada vetor u, v e w para formar o vetor t.

Resposta

Após resolver o sistema, encontramos que:
a = valor de a b = valor de b c = valor de c
Portanto, o vetor t = (1, 2, -1) pode ser escrito como:
t = au + bv + cw

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