Demonstrar que os pontos
e
são os vértices de triângulo retângulo e ache sua área.
Passo 1
Beleza, então a gente tem três pontos no plano:
,
e
. O objetivo aqui é mostrar que esses pontos formam um triângulo retângulo e calcular a área desse triângulo. Para isso, vamos usar conceitos de distância entre pontos e o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as distâncias entre cada par de pontos. A fórmula para a distância entre dois pontos
e
é:
Vamos calcular as três distâncias:
- Entre
e :
- Entre
e :
- Entre
e :
Passo 3
Agora que temos as três distâncias, vamos verificar se elas obedecem ao Teorema de Pitágoras, que diz que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados. Para isso, precisamos identificar qual das distâncias é a maior, que será a hipotenusa.
Observando os valores:
Então, a hipotenusa é
.
Vamos verificar se:
Como a igualdade é verdadeira, os pontos formam um triângulo retângulo.
Passo 4
Agora, vamos calcular a área desse triângulo retângulo. A fórmula para a área de um triângulo retângulo é:
Aqui, os catetos são as distâncias menores,
e
.
Então,
Resposta
Os pontos
,
e
formam um triângulo retângulo, e a área desse triângulo é
unidades quadradas.