Demonstrar que os pontos (2,-2),(-8,4) e (5,3) são os vértices de triângulo retângulo e ache sua área.

Passo 1

Beleza, então a gente tem três pontos no plano: (2,-2), (-8,4) e (5,3). O objetivo aqui é mostrar que esses pontos formam um triângulo retângulo e calcular a área desse triângulo. Para isso, vamos usar conceitos de distância entre pontos e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as distâncias entre cada par de pontos. A fórmula para a distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Vamos calcular as três distâncias:
  1. Entre (2,-2) e (-8,4):
d1 = raiz(-8 - 2)^2 + (4 - (-2))^2 = raiz(-10)^2 + (6)^2 = raiz100 + 36 = raiz136
  1. Entre (-8,4) e (5,3):
d2 = raiz(5 - (-8))^2 + (3 - 4)^2 = raiz(13)^2 + (-1)^2 = raiz169 + 1 = raiz170
  1. Entre (2,-2) e (5,3):
d3 = raiz(5 - 2)^2 + (3 - (-2))^2 = raiz3^2 + 5^2 = raiz9 + 25 = raiz34

Passo 3

Agora que temos as três distâncias, vamos verificar se elas obedecem ao Teorema de Pitágoras, que diz que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados. Para isso, precisamos identificar qual das distâncias é a maior, que será a hipotenusa.
Observando os valores:
raiz170 > raiz136 > raiz34
Então, a hipotenusa é raiz170.
Vamos verificar se:
(raiz170)^2 = (raiz136)^2 + (raiz34)^2
170 = 136 + 34
170 = 170
Como a igualdade é verdadeira, os pontos formam um triângulo retângulo.

Passo 4

Agora, vamos calcular a área desse triângulo retângulo. A fórmula para a área de um triângulo retângulo é:
Área = cateto1 times cateto2 2 Á
Aqui, os catetos são as distâncias menores, raiz136 e raiz34.
Então,
Área = raiz136 times raiz34 2 = raiz136 times 34 2 = raiz4624 2 = 682 = 34 Á

Resposta

Os pontos (2,-2), (-8,4) e (5,3) formam um triângulo retângulo, e a área desse triângulo é 34 unidades quadradas.

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