Verifique se os conjuntus dados são LI ou LD. Se for LD, expresse um dos elementos como combinaçäo
x^3, x^2-1, x+2, x^3+x^2-x-3 subset P3(R)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de Álgebra Linear que envolve verificar se um conjunto de polinômios é Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). A gente vai precisar usar conceitos de combinação linear e sistema de equações para resolver isso. O conjunto que vamos analisar é:
x^3, x^2 - 1, x + 2, x^3 + x^2 - x - 3 subset P3(R)
Nosso objetivo é descobrir se esses quatro polinômios são LI ou LD. Se for LD, temos que expressar um dos polinômios como uma combinação dos outros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser Linearmente Independente ou Dependente. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é Linearmente Independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Caso contrário, o conjunto é Linearmente Dependente, ou seja, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação dos outros.

Passo 3

Vamos montar uma combinação linear dos polinômios e igualar a zero:
c1 cdot x^3 + c2 cdot (x^2 - 1) + c3 cdot (x + 2) + c4 cdot (x^3 + x^2 - x - 3) = 0
Aqui, são escalares que precisamos determinar. Nosso objetivo é ver se existe uma solução não trivial (ou seja, pelo menos um diferente de zero) para essa equação.

Passo 4

Vamos expandir a expressão:
c1 x^3 + c2 x^2 - c2 + c3 x + 2c3 + c4 x^3 + c4 x^2 - c4 x - 3c4 = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(c1 + c4) x^3 + (c2 + c4) x^2 + (c3 - c4) x + (-c2 + 2c3 - 3c4) = 0
Para essa equação ser válida para todo c1 + c4 = 0 c2 + c4 = 0 c3 - c4 = 0 -c2 + 2c3 - 3c4 = 0 , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema:
  1. Da primeira equação: -(-c4) + 2(c4) - 3c4 = c4 + 2c4 - 3c4 = 0
  2. Da segunda equação:
  3. Da terceira equação:
Agora, substituímos e na quarta equação:
Isso simplifica para , que é sempre verdadeiro. Isso significa que temos uma solução não trivial: podemos escolher como qualquer número real e determinar os outros coeficientes a partir dele.

Passo 6

Como encontramos uma solução não trivial, isso confirma que o conjunto é Linearmente Dependente. Agora, vamos expressar um dos polinômios como uma combinação dos outros. Vamos escolher c1 = -c4, c2 = -c4, c3 = c4 para expressar como combinação dos demais.
Usando os coeficientes que encontramos:
x^3 + x^2 - x - 3 = (-1) cdot x^3 + (-1) cdot (x^2 - 1) + 1 cdot (x + 2)
Vamos escolher x^3 + x^2 - x - 3 = -x^3 - x^2 + 1 + x + 2 para simplificar:
x^3 + x^2 - x - 3 = (-x^3) + (-x^2) + x + 3
Simplificando:
x^3 + x^2 - x - 3 = x^3 + x^2 - x - 3
Somando os termos semelhantes:
Tudo confere! Isso mostra que realmente pode ser escrito como uma combinação linear dos outros polinômios.

Resposta

O conjunto x^3 + x^2 - x - 3 = x^3 + (x^2 - 1) - (x + 2) é Linearmente Dependente. Além disso, podemos expressar como uma combinação linear dos outros polinômios:

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