Verifique se os conjuntus dados são LI ou LD. Se for LD, expresse um dos elementos como combinaçäo
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de Álgebra Linear que envolve verificar se um conjunto de polinômios é Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). A gente vai precisar usar conceitos de combinação linear e sistema de equações para resolver isso. O conjunto que vamos analisar é:
Nosso objetivo é descobrir se esses quatro polinômios são LI ou LD. Se for LD, temos que expressar um dos polinômios como uma combinação dos outros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser Linearmente Independente ou Dependente. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é Linearmente Independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Caso contrário, o conjunto é Linearmente Dependente, ou seja, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação dos outros.
Passo 3
Vamos montar uma combinação linear dos polinômios e igualar a zero:
Aqui, são escalares que precisamos determinar. Nosso objetivo é ver se existe uma solução não trivial (ou seja, pelo menos um diferente de zero) para essa equação.
Passo 4
Vamos expandir a expressão:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para essa equação ser válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação: -(-c4) + 2(c4) - 3c4 = c4 + 2c4 - 3c4 = 0
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Agora, substituímos e na quarta equação:
Isso simplifica para , que é sempre verdadeiro. Isso significa que temos uma solução não trivial: podemos escolher como qualquer número real e determinar os outros coeficientes a partir dele.
Passo 6
Como encontramos uma solução não trivial, isso confirma que o conjunto é Linearmente Dependente. Agora, vamos expressar um dos polinômios como uma combinação dos outros. Vamos escolher c1 = -c4, c2 = -c4, c3 = c4 para expressar como combinação dos demais.
Vamos escolher x^3 + x^2 - x - 3 = -x^3 - x^2 + 1 + x + 2 para simplificar:
x^3 + x^2 - x - 3 = (-x^3) + (-x^2) + x + 3
Simplificando:
x^3 + x^2 - x - 3 = x^3 + x^2 - x - 3
Somando os termos semelhantes:
Tudo confere! Isso mostra que realmente pode ser escrito como uma combinação linear dos outros polinômios.
Resposta
O conjunto x^3 + x^2 - x - 3 = x^3 + (x^2 - 1) - (x + 2) é Linearmente Dependente. Além disso, podemos expressar como uma combinação linear dos outros polinômios: