Demonstrar que a relação entre os logar ftmos de dois números positivos e diferentes de um independe da base considerada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a relação entre os logaritmos de dois números positivos e diferentes de um não muda dependendo da base que a gente escolhe. Vamos usar conteúdos de logaritmos, especificamente a troca de base para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um logaritmo. O logaritmo de um número na base é o expoente ao qual a base precisa ser elevada para resultar em . Isso é escrito como:

Passo 3

Agora, vamos considerar dois números positivos e diferentes de um, digamos e . Queremos comparar os logaritmos desses números. Então, temos:

Passo 4

Para mostrar que a relação entre esses dois logaritmos não depende da base , vamos usar a fórmula de troca de base. A fórmula diz que podemos mudar a base de qualquer logaritmo usando:
onde é uma nova base qualquer.

Passo 5

Aplicando a troca de base para e , temos:

Passo 6

Agora, vamos olhar para a relação entre e . Vamos dividir um pelo outro:

Passo 7

Observe que . A razão entre os logaritmos de e é a mesma, independente da base ou que escolhemos.

Resposta

Assim, demonstramos que a relação entre os logaritmos de dois números positivos e diferentes de um é independente da base considerada.

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http://www.w3.org/2000/svg” width=“37.589ex” height=“5.47ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1459 16614.3 2418”><title>x’ - x + 2y = 0, y’ - x + y = 0, x(0) = 1, y(0) = 1</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mrow”><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0 -0.5)”><path data-c=“7B” d=“M618 -943L612 -949H582L568 -943Q472 -903 411 -841T332 -703Q327 -682 327 -653T325 -350Q324 -28 323 -18Q317 24 301 61T264 124T221 171T179 205T147 225T132 234Q130 238 130 250Q130 255 130 258T131 264T132 267T134 269T139 272T144 275Q207 308 256 367Q310 436 323 519Q324 529 325 851Q326 1124 326 1154T332 1205Q369 1358 566 1443L582 1450H612L618 1444V1429Q618 1413 616 1411L608 1406Q599 1402 585 1393T552 1372T515 1343T479 1305T449 1257T429 1200Q425 1180 425 1152T423 851Q422 579 422 549T416 498Q407 459 388 424T346 364T297 318T250 284T214 264T197 254L188 251L205 242Q290 200 345 138T416 3Q421 -18 421 -48T423 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