Demonstrar que a relação entre os logar ftmos de dois números positivos e diferentes de um independe da base considerada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a relação entre os logaritmos de dois números positivos e diferentes de um não muda dependendo da base que a gente escolhe. Vamos usar conteúdos de logaritmos, especificamente a troca de base para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um logaritmo. O logaritmo de um número na base é o expoente ao qual a base precisa ser elevada para resultar em . Isso é escrito como:

Passo 3

Agora, vamos considerar dois números positivos e diferentes de um, digamos e . Queremos comparar os logaritmos desses números. Então, temos:

Passo 4

Para mostrar que a relação entre esses dois logaritmos não depende da base , vamos usar a fórmula de troca de base. A fórmula diz que podemos mudar a base de qualquer logaritmo usando:
onde é uma nova base qualquer.

Passo 5

Aplicando a troca de base para e , temos:

Passo 6

Agora, vamos olhar para a relação entre e . Vamos dividir um pelo outro:

Passo 7

Observe que . A razão entre os logaritmos de e é a mesma, independente da base ou que escolhemos.

Resposta

Assim, demonstramos que a relação entre os logaritmos de dois números positivos e diferentes de um é independente da base considerada.

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