Demonstrar que a relação entre os logar ftmos de dois números positivos e diferentes de um independe da base considerada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a relação entre os logaritmos de dois números positivos e diferentes de um não muda dependendo da base que a gente escolhe. Vamos usar conteúdos de logaritmos, especificamente a troca de base para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um logaritmo. O logaritmo de um número
na base
é o expoente ao qual a base
precisa ser elevada para resultar em
. Isso é escrito como:
Passo 3
Agora, vamos considerar dois números positivos e diferentes de um, digamos
e
. Queremos comparar os logaritmos desses números. Então, temos:
Passo 4
Para mostrar que a relação entre esses dois logaritmos não depende da base
, vamos usar a fórmula de troca de base. A fórmula diz que podemos mudar a base de qualquer logaritmo usando:
onde
é uma nova base qualquer.
Passo 5
Aplicando a troca de base para
e
, temos:
Passo 6
Agora, vamos olhar para a relação entre
e
. Vamos dividir um pelo outro:
Passo 7
Observe que
. A razão entre os logaritmos de
e
é a mesma, independente da base
ou
que escolhemos.
Resposta
Assim, demonstramos que a relação entre os logaritmos de dois números positivos e diferentes de um é independente da base considerada.