Se log(ab) a = 4, calcule log_ab(raiz3(a) / raiz(b)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte questão: sabemos que e precisamos calcular . Isso envolve propriedades de logaritmos e manipulação de potências. Vamos precisar lembrar das regras de logaritmos, como a regra do quociente e a regra da potência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que . Vamos usar essa informação mais tarde.

Passo 3

Agora, vamos focar no que precisamos calcular: . Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo usando propriedades de potências.

Passo 4

Sabemos que e . Então, podemos reescrever a expressão assim:

Passo 5

Agora, aplicamos a propriedade do logaritmo que diz que . Então:

Passo 6

Outra propriedade importante é . Aplicando isso:

Passo 7

Lembrando que já sabemos que . Agora precisamos encontrar . Para isso, usamos a propriedade que , mas aqui a base é a b, então precisamos expressar em termos de .

Passo 8

Sabemos que:
Então:

Passo 9

Agora, substituímos de volta nas expressões anteriores:

Passo 10

Somando essas duas partes:

Resposta

O valor de é .

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