Se log_12(27) = a, calcule log(16) / log(6).

Passo 1

Então, galera, a gente tem essa questão aqui que diz: se , a gente precisa descobrir qual é . A matéria que estamos mexendo é a de logaritmos, e vamos precisar usar algumas propriedades básicas deles para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa. Isso quer dizer que elevado à potência é igual a . Em fórmula:
Isso vai ser útil pra gente relacionar os logaritmos.

Passo 3

Agora, vamos quebrar os números em fatores primos pra facilitar. Sabemos que:
Então, podemos reescrever a equação assim:
Aplicando as potências:

Passo 4

Agora, vamos igualar as potências dos mesmos fatores. Como não temos do lado direito, a parte com do lado esquerdo deve ser igual a (já que qualquer número elevado a zero é ). Então:
Mas isso não faz sentido porque . Então, precisamos reconsiderar nossa abordagem.

Passo 5

Vamos usar logaritmos naturais (ln) para resolver a equação . Tirando o log natural dos dois lados:
Usando a propriedade :
Assim, isolando :

Passo 6

Agora, queremos encontrar . Vamos escrever isso também usando logaritmos naturais:
Vamos expressar e em termos de logaritmos com base para relacionar com .

Passo 7

Sabemos que e , então:
Então, substituindo na expressão de :

Passo 8

Agora, vamos relacionar com o valor de que encontramos. Da equação de :
Isolando :

Passo 9

Substituindo na expressão de :
Fatorando :
Simplificando a fração:

Resposta

Exercícios relacionados