Se
, calcule
.
Passo 1
Então, galera, a gente tem essa questão aqui que diz: se
, a gente precisa descobrir qual é
. A matéria que estamos mexendo é a de logaritmos, e vamos precisar usar algumas propriedades básicas deles para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que
significa. Isso quer dizer que
elevado à potência
é igual a
. Em fórmula:
Isso vai ser útil pra gente relacionar os logaritmos.
Passo 3
Agora, vamos quebrar os números em fatores primos pra facilitar. Sabemos que:
Então, podemos reescrever a equação
assim:
Aplicando as potências:
Passo 4
Agora, vamos igualar as potências dos mesmos fatores. Como não temos
do lado direito, a parte com
do lado esquerdo deve ser igual a
(já que qualquer número elevado a zero é
). Então:
Mas isso não faz sentido porque
. Então, precisamos reconsiderar nossa abordagem.
Passo 5
Vamos usar logaritmos naturais (ln) para resolver a equação
. Tirando o log natural dos dois lados:
Usando a propriedade
:
Assim, isolando
:
Passo 6
Agora, queremos encontrar
. Vamos escrever isso também usando logaritmos naturais:
Vamos expressar
e
em termos de logaritmos com base
para relacionar com
.
Passo 7
Sabemos que
e
, então:
Então, substituindo na expressão de
:
Passo 8
Agora, vamos relacionar
com o valor de
que encontramos. Da equação de
:
Isolando
:
Passo 9
Substituindo
na expressão de
:
Fatorando
:
Simplificando a fração: