Usando a Transformada de Laplace resolva os seguintes sistemas:
x' - x + 2y = 0, y' - x + y = 0, x(0) = 1, y(0) = 1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais que precisamos resolver usando a Transformada de Laplace. O sistema é:
Vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace em cada equação, resolver o sistema algébrico resultante e, por fim, encontrar as funções e .

Passo 2

Começamos aplicando a Transformada de Laplace em cada equação do sistema. Lembrando que:
Aplicando isso à primeira equação:
Substituindo pelas transformadas:

Passo 3

Substituímos os valores iniciais :
çã

Passo 4

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace à segunda equação:
Substituindo pelas transformadas:
Substituindo :
çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações algébricas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 6

Vamos resolver pela substituição. Da Equação 2:

Passo 7

Substituímos na Equação 1:
Expandindo:

Passo 8

Agrupamos os termos com :
Logo:

Passo 9

Agora, substituímos na expressão de :
Simplificando:

Passo 10

Agora, precisamos encontrar as transformadas inversas para e . Observamos que:
Utilizando as tabelas de Transformada de Laplace, sabemos que:

Passo 11

Aplicando a Transformada Inversa:
Para :
Para :

Resposta

As soluções do sistema são:

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