Usando a Transformada de Laplace resolva os seguintes sistemas:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais que precisamos resolver usando a Transformada de Laplace. O sistema é:
Vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace em cada equação, resolver o sistema algébrico resultante e, por fim, encontrar as funções
e
.
Passo 2
Começamos aplicando a Transformada de Laplace em cada equação do sistema. Lembrando que:
Aplicando isso à primeira equação:
Substituindo pelas transformadas:
Passo 3
Substituímos os valores iniciais
:
Passo 4
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace à segunda equação:
Substituindo pelas transformadas:
Substituindo
:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações algébricas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 6
Vamos resolver pela substituição. Da Equação 2:
Passo 7
Substituímos
na Equação 1:
Expandindo:
Passo 8
Agrupamos os termos com
:
Logo:
Passo 9
Agora, substituímos
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 10
Agora, precisamos encontrar as transformadas inversas para
e
. Observamos que:
Utilizando as tabelas de Transformada de Laplace, sabemos que:
Passo 11
Aplicando a Transformada Inversa:
Para
:
Para
:
Resposta
As soluções do sistema são: