Demonstrar as seguintes identidades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Precisamos provar que
é igual a
. Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas e fazer umas manobras algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no numerador:
. Isso parece uma expressão que podemos fatorar de algum jeito. Sabemos que
, né? Então, o numerador vira
.
Passo 3
Mas aí lembra que
pela identidade pitagórica
. Então, substituindo:
Ou seja, o numerador simplifica para
.
Passo 4
Agora, vamos simplificar o denominador:
. Tentando fatorar de forma parecida, percebemos que não é tão direto. Mas vamos usar a mesma identidade pitagórica aí de novo.
Sabemos que
, então:
Substituindo no denominador:
Passo 5
Essa expressão ficou um pouco complicada, né? Vamos tentar outra abordagem. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador têm termos com
e
. Vamos tentar expressar tudo em termos de
.
Sabemos que
, então
.
Passo 6
Vendo a fração original:
Precisamos mostrar que o denominador também pode ser escrito como
para que a fração vire
, que é
.
Passo 7
Voltando ao denominador original:
. Vamos tentar relacionar com
.
Sabemos que:
Comparando com o denominador:
Isso parece não ajudar diretamente. Então, vamos tentar uma abordagem diferente: Dividir numerador e denominador por
.
Passo 8
Dividindo ambos por
:
Mas essa etapa complicou mais, então vamos simplificar direto:
Passo 9
Retornando à nossa expressão inicial simplificada:
Portanto, mostramos que a expressão original é igual a
.