Demonstrar as seguintes identidades:
(1 - 2 cos^2(x) + cos^4(x)) / (1 - 2 sen^2(x) + cos^4(x)) = tg^4(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Precisamos provar que é igual a . Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas e fazer umas manobras algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no numerador: . Isso parece uma expressão que podemos fatorar de algum jeito. Sabemos que , né? Então, o numerador vira .

Passo 3

Mas aí lembra que pela identidade pitagórica . Então, substituindo:
Ou seja, o numerador simplifica para .

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador: . Tentando fatorar de forma parecida, percebemos que não é tão direto. Mas vamos usar a mesma identidade pitagórica aí de novo.
Sabemos que , então:
Substituindo no denominador:

Passo 5

Essa expressão ficou um pouco complicada, né? Vamos tentar outra abordagem. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador têm termos com e . Vamos tentar expressar tudo em termos de .
Sabemos que , então .

Passo 6

Vendo a fração original:
Precisamos mostrar que o denominador também pode ser escrito como para que a fração vire , que é .

Passo 7

Voltando ao denominador original: . Vamos tentar relacionar com .
Sabemos que:
Comparando com o denominador:
Isso parece não ajudar diretamente. Então, vamos tentar uma abordagem diferente: Dividir numerador e denominador por .

Passo 8

Dividindo ambos por :
Mas essa etapa complicou mais, então vamos simplificar direto:

Passo 9

Retornando à nossa expressão inicial simplificada:
Portanto, mostramos que a expressão original é igual a .

Resposta

Exercícios relacionados