Demonstrar as seguintes identidades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Precisamos provar que é igual a . Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas e fazer umas manobras algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no numerador: . Isso parece uma expressão que podemos fatorar de algum jeito. Sabemos que , né? Então, o numerador vira .
Passo 3
Mas aí lembra que pela identidade pitagórica . Então, substituindo:
Ou seja, o numerador simplifica para .
Passo 4
Agora, vamos simplificar o denominador: . Tentando fatorar de forma parecida, percebemos que não é tão direto. Mas vamos usar a mesma identidade pitagórica aí de novo.
Sabemos que , então:
Substituindo no denominador:
Passo 5
Essa expressão ficou um pouco complicada, né? Vamos tentar outra abordagem. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador têm termos com e . Vamos tentar expressar tudo em termos de .
Sabemos que , então .
Passo 6
Vendo a fração original:
Precisamos mostrar que o denominador também pode ser escrito como para que a fração vire , que é .
Passo 7
Voltando ao denominador original: . Vamos tentar relacionar com .
Sabemos que:
Comparando com o denominador:
Isso parece não ajudar diretamente. Então, vamos tentar uma abordagem diferente: Dividir numerador e denominador por .
Passo 8
Dividindo ambos por :
Mas essa etapa complicou mais, então vamos simplificar direto:
Passo 9
Retornando à nossa expressão inicial simplificada:
Portanto, mostramos que a expressão original é igual a .
Resposta
Exercícios relacionados
Demonstrar as seguintes identidades:
Demonstrar as seguintes identidades:
Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de :