Demonstrar as seguintes identidades:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para demonstrar a seguinte identidade trigonométrica:
Para isso, vamos usar conceitos básicos de trigonometria, especificamente as definições de e , além da identidade fundamental . Vamos resolver isso passo a passo para garantir que tudo fique claro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significam e . Essas são funções trigonométricas recíprocas:
Então, ao quadrado, temos:

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões na identidade que queremos demonstrar:
E do lado direito da igualdade:

Passo 4

Agora, temos que provar que:
Para simplificar isso, vamos achar um denominador comum para os dois termos do lado esquerdo. O denominador comum entre e é .

Passo 5

Reescrevendo os termos com o denominador comum:

Passo 6

Sabemos da identidade fundamental que:
Então, substituindo na equação anterior:

Passo 7

Agora, vemos que o lado esquerdo da nossa identidade original se simplificou exatamente para o lado direito:
Assim, mostramos que:

Resposta

Portanto, demonstramos que é uma identidade verdadeira.

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