Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função
. Basicamente, vamos descobrir para quais valores de
a função está definida (domínio), quais valores ela pode assumir (imagem) e como ela se parece no gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de funções polinomiais e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para
, percebemos que é um polinômio. Funções polinomiais são definidas para todos os números reais, porque você pode elevar qualquer número real a uma potência inteiro sem problemas.
Então, o domínio de
é:
Ou seja, todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de
quando
varia pelo domínio. Observando a função
, sabemos que
pode assumir qualquer valor real, já que ao elevar um número real a uma potência ímpar, o resultado também é real e pode ser positivo ou negativo.
Quando somamos 2 a
, ainda assim,
pode assumir qualquer valor real, pois a adição de 2 simplesmente desloca a função para cima no gráfico, mas não limita seus valores.
Portanto, a imagem de
é:
Todos os números reais.
Passo 4
Por fim, vamos esboçar o gráfico de
. Como é um polinômio de terceiro grau (
elevado ao cubo), sabemos que o gráfico será uma curva chamada cúbica, que tem uma forma característica de “S”.
Algumas características importantes:
- Ponto de inflexão: Onde a curva muda sua concavidade. Para essa função, ocorre em
. Calculando , o ponto de inflexão é . - Comportamento nas extremidades:
- Quando
vai para , também vai para . - Quando
vai para , vai para .
- Quando
Esboço do gráfico:
- Plotamos o ponto de inflexão
. - Traçamos a curva passando por esse ponto, subindo para a direita e descendo para a esquerda, seguindo o comportamento esperado de uma função cúbica.
![Gráfico de f(x) = 2 + (x-1)^3](https://i.imgur.com/yourimage.png)
Resposta
- Domínio: Todos os números reais (
). - Imagem: Todos os números reais (
). - Gráfico: Uma curva cúbica com ponto de inflexão em
, estendendo-se de a .
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:
Determinar o domínio.