Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função . Basicamente, vamos descobrir para quais valores de a função está definida (domínio), quais valores ela pode assumir (imagem) e como ela se parece no gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de funções polinomiais e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para , percebemos que é um polinômio. Funções polinomiais são definidas para todos os números reais, porque você pode elevar qualquer número real a uma potência inteiro sem problemas.
Então, o domínio de é:
í
Ou seja, todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de quando varia pelo domínio. Observando a função , sabemos que pode assumir qualquer valor real, já que ao elevar um número real a uma potência ímpar, o resultado também é real e pode ser positivo ou negativo.
Quando somamos 2 a , ainda assim, pode assumir qualquer valor real, pois a adição de 2 simplesmente desloca a função para cima no gráfico, mas não limita seus valores.
Portanto, a imagem de é:
Todos os números reais.

Passo 4

Por fim, vamos esboçar o gráfico de . Como é um polinômio de terceiro grau ( elevado ao cubo), sabemos que o gráfico será uma curva chamada cúbica, que tem uma forma característica de “S”.
Algumas características importantes:
  • Ponto de inflexão: Onde a curva muda sua concavidade. Para essa função, ocorre em . Calculando , o ponto de inflexão é .
  • Comportamento nas extremidades:
    • Quando vai para , também vai para .
    • Quando vai para , vai para .
Esboço do gráfico:
  1. Plotamos o ponto de inflexão .
  2. Traçamos a curva passando por esse ponto, subindo para a direita e descendo para a esquerda, seguindo o comportamento esperado de uma função cúbica.
Gráfico de f(x) = 2 + (x-1)^3 (Imagem ilustrativa)

Resposta

  • Domínio: Todos os números reais ( ).
  • Imagem: Todos os números reais ( ).
  • Gráfico: Uma curva cúbica com ponto de inflexão em , estendendo-se de a .

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Determinar o domínio.