Demonstrar as seguintes identidades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que a expressão
é igual a 1. Isso envolve trigonometria e álgebra, especialmente manipulação de expressões com potências e identidades trigonométricas básicas. Para resolver, vamos precisar lembrar como fatorar diferenças de cubos e usar a identidade
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no numerador:
. Isso é uma diferença de cubos, e a gente sabe que
. Aplicando isso aqui:
Passo 3
Agora, olha só o denominador:
. Vemos que ele é igual a um dos fatores que encontramos ao fatorar o numerador. Então, nossa fração fica:
Passo 4
A gente pode simplificar essa fração cancelando o
que está no numerador e no denominador:
Passo 5
Agora, vamos lembrar da identidade trigonométrica básica:
. Substituindo isso na expressão, temos:
Passo 6
Aqui está o ponto importante: queremos que a expressão seja igual a 1. Então, a gente tem:
Isso só é verdade se
, o que não é válido para todo x. Parece que houve um erro no enunciado ou na interpretação.
Resposta
Após a simplificação, a expressão
é igual a
, e não 1.
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Demonstrar as seguintes identidades:
Calcular, se existir, os limites:
Um aquário sem tampa, de 45 cm de altura,
de comprimento e
de largura, deve ter
de volume. Exprima
como função de
.
Demonstrar as seguintes identidades: