Demonstrar as seguintes identidades:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que a expressão é igual a 1. Isso envolve trigonometria e álgebra, especialmente manipulação de expressões com potências e identidades trigonométricas básicas. Para resolver, vamos precisar lembrar como fatorar diferenças de cubos e usar a identidade .

Passo 2

Primeiro, vamos focar no numerador: . Isso é uma diferença de cubos, e a gente sabe que . Aplicando isso aqui:

Passo 3

Agora, olha só o denominador: . Vemos que ele é igual a um dos fatores que encontramos ao fatorar o numerador. Então, nossa fração fica:

Passo 4

A gente pode simplificar essa fração cancelando o que está no numerador e no denominador:

Passo 5

Agora, vamos lembrar da identidade trigonométrica básica: . Substituindo isso na expressão, temos:

Passo 6

Aqui está o ponto importante: queremos que a expressão seja igual a 1. Então, a gente tem:
Isso só é verdade se , o que não é válido para todo x. Parece que houve um erro no enunciado ou na interpretação.

Resposta

Após a simplificação, a expressão é igual a , e não 1.

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