Demonstrar as seguintes identidades:

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para a gente demonstrar uma identidade trigonométrica, que é uma igualdade envolvendo funções trigonométricas que vale para todos os valores das variáveis onde as funções estão definidas. O conteúdo que vamos usar envolve as funções tangente ( ) e cotangente ( ). Para resolver, vamos manipular as expressões usando definições e propriedades dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições básicas das funções tangente e cotangente:
Além disso, sabemos que:
Vamos usar essas definições para reescrever os termos da identidade que queremos demonstrar.

Passo 3

Vamos começar substituindo e pelas suas equivalentes em termos de :
Agora, substituímos essas expressões na identidade original:

Passo 4

Vamos simplificar o numerador da fração:
Então, substituindo de volta na expressão:

Passo 5

Agora, observamos que no numerador e no denominador são iguais e podem ser cancelados:
Isso simplifica para:

Resposta

Portanto, demonstramos que:

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Demonstrar as seguintes identidades:
Determine se é contínua em .
Resolver as seguintes equações: