Determine se
é contínua em
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo: precisamos verificar se a função vetorial
é contínua no ponto
. A função é definida de duas maneiras diferentes, dependendo se
é igual a zero ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como calcular limites de funções componentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando
se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. No caso de funções vetoriais, precisamos verificar isso para cada componente da função separadamente.
Passo 3
Vamos analisar a primeira componente de
:
Queremos calcular o limite dessa expressão quando
se aproxima de 0:
Sabemos que, utilizando a expansão de Taylor para
perto de 0:
Substituindo na expressão:
Tomando o limite:
Isso coincide com o valor da primeira componente de
, que é 0.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda componente:
Aqui, reconhecemos que isso é a definição da derivada de
em
. Sabemos que:
Isso corresponde exatamente ao valor da segunda componente de
, que é
.
Passo 5
Por último, vamos analisar a terceira componente:
Este é um limite clássico conhecido:
E isso também coincide com o valor da terceira componente de
, que é 1.
Resposta
Como todas as componentes do limite de
quando
se aproxima de 0 são iguais aos respectivos valores de
, concluímos que a função
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Demonstrar as seguintes identidades:
Um aquário sem tampa, de 45 cm de altura,
de comprimento e
de largura, deve ter
de volume. Exprima
como função de
.
Resolver as seguintes equações:
Resolver as seguintes equações: