Determine se é contínua em .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo: precisamos verificar se a função vetorial é contínua no ponto . A função é definida de duas maneiras diferentes, dependendo se é igual a zero ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como calcular limites de funções componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. No caso de funções vetoriais, precisamos verificar isso para cada componente da função separadamente.

Passo 3

Vamos analisar a primeira componente de :
Queremos calcular o limite dessa expressão quando se aproxima de 0:
Sabemos que, utilizando a expansão de Taylor para perto de 0:
Substituindo na expressão:
Tomando o limite:
Isso coincide com o valor da primeira componente de , que é 0.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente:
Aqui, reconhecemos que isso é a definição da derivada de em . Sabemos que:
Isso corresponde exatamente ao valor da segunda componente de , que é .

Passo 5

Por último, vamos analisar a terceira componente:
Este é um limite clássico conhecido:
E isso também coincide com o valor da terceira componente de , que é 1.

Resposta

Como todas as componentes do limite de quando se aproxima de 0 são iguais aos respectivos valores de , concluímos que a função é contínua em .

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