Demonstrar as seguintes identidades:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que demonstrar que . Esse exercício é de trigonometria, especificamente sobre identidades trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades básicas e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições das funções e . Sabemos que:
Então, podemos reescrever a expressão original usando essas definições.

Passo 3

Substituindo e na expressão original, temos:
Agora, como os denominadores são iguais, podemos combinar os termos do lado esquerdo.

Passo 4

Simplificando o lado esquerdo da equação:
E no lado direito, somamos os termos no denominador:
Agora, queremos mostrar que .

Passo 5

Para provar que essas duas frações são iguais, vamos multiplicar o numerador e o denominador da primeira fração por :
Lembrando que (identidade fundamental da trigonometria).

Passo 6

Substituindo por , temos:
Que é exatamente o que tínhamos no lado direito da equação.

Resposta

Portanto, mostramos que .

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(a) Expresse o lucro semanal do fabricante como uma função de .
(b) Use o resultado de (a) para determinar o lucro semanal se o preço de venda for cada.
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