Demonstrar as seguintes identidades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar uma identidade trigonométrica, ou seja, mostrar que duas expressões envolvendo funções trigonométricas são iguais. A equação que vamos trabalhar é:
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas básicas e fazer umas contas de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as funções envolvidas. Sabemos que:
-
é a tangente de x, que pode ser escrita como . -
é a cotangente de x, que pode ser escrita como .
Vamos substituir essas expressões na equação para facilitar a simplificação.
Passo 3
Substituindo na equação original, temos:
Agora, vamos fatorar
Passo 4
Simplificando as frações dentro dos parênteses:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Multiplicando as frações:
Observe que
Passo 6
Agora, vamos multiplicar os termos:
Distribuindo o 2:
Passo 7
Agora, vamos olhar o lado direito da igualdade que queremos provar:
Vamos expandir esse quadrado:
Simplificando:
Passo 8
Comparando as duas expressões que obtivemos:
Do lado esquerdo simplificado:
Do lado esquerdo simplificado:
Do lado direito expandido:
Perceba que faltam os termos quadráticos no lado esquerdo. Para que as duas expressões sejam iguais, precisamos que:
Sabemos que
Portanto, as duas expressões são iguais.
Resposta
As duas expressões são iguais, ou seja: