Demonstrar as seguintes identidades:
2(sen(x) + tg(x))(cos(x) + cotg(x)) = (1 + sen(x) + cos(x))^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar uma identidade trigonométrica, ou seja, mostrar que duas expressões envolvendo funções trigonométricas são iguais. A equação que vamos trabalhar é:

Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas básicas e fazer umas contas de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as funções envolvidas. Sabemos que:
  • tg x é a tangente de x, que pode ser escrita como .
  • cotg(x) é a cotangente de x, que pode ser escrita como .
Vamos substituir essas expressões na equação para facilitar a simplificação.

Passo 3

Substituindo na equação original, temos:

Agora, vamos fatorar sen x no primeiro parêntese e cos(x) no segundo:

Passo 4

Simplificando as frações dentro dos parênteses:

Então, a expressão fica:

Passo 5

Multiplicando as frações:

Observe que sen x e cos(x) se cancelam:

Passo 6

Agora, vamos multiplicar os termos:

Distribuindo o 2:

Passo 7

Agora, vamos olhar o lado direito da igualdade que queremos provar:

Vamos expandir esse quadrado:
Simplificando:

Passo 8

Comparando as duas expressões que obtivemos:
Do lado esquerdo simplificado:

Do lado direito expandido:
Perceba que faltam os termos quadráticos no lado esquerdo. Para que as duas expressões sejam iguais, precisamos que:

Sabemos que (identidade trigonométrica básica). Então:
Portanto, as duas expressões são iguais.

Resposta

As duas expressões são iguais, ou seja:

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