Demonstre, por semelhança de triangulo, as somas de arco abaixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar a fórmula da soma dos senos, ou seja, mostrar que
. Para isso, vamos usar a ideia de semelhança de triângulos, que é um conceito da trigonometria. Vamos precisar entender como os ângulos e os lados dos triângulos se relacionam quando os triângulos são parecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar um triângulo qualquer onde os ângulos internos somem 180 graus. Vamos identificar dois ângulos nele, chamados de
e
, e o terceiro ângulo será
. Agora, vamos desenhar outro triângulo similar a esse, mas com ângulos
,
e
.
Passo 3
Como os triângulos são similares, os lados opostos aos ângulos correspondentes estarão na mesma proporção. Vamos focar nos lados que correspondem aos ângulos
e
. Suponha que em um triângulo temos lados de comprimento 1 para simplificar os cálculos.
Passo 4
No triângulo original, a razão entre o lado oposto ao ângulo
e a hipotenusa é o seno de
, ou seja,
. Da mesma forma, a razão entre o lado adjacente a
e a hipotenusa é o cosseno de
,
. O mesmo vale para o ângulo
.
Passo 5
Agora, vamos olhar para o triângulo que tem o ângulo
. A razão entre o lado oposto a esse ângulo e a hipotenusa será o seno de
. Usando a semelhança dos triângulos, podemos relacionar esses lados com os lados dos triângulos menores que temos.
Passo 6
Fazendo as contas, multiplicamos as razões correspondentes:
Isso porque cada parte está relacionada aos lados dos triângulos similares e suas proporções.
Resposta
Portanto, demonstramos que:
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Demonstrar as seguintes identidades: