Demonstre, por semelhança de triangulo, as somas de arco abaixo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar a fórmula da soma dos senos, ou seja, mostrar que . Para isso, vamos usar a ideia de semelhança de triângulos, que é um conceito da trigonometria. Vamos precisar entender como os ângulos e os lados dos triângulos se relacionam quando os triângulos são parecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar um triângulo qualquer onde os ângulos internos somem 180 graus. Vamos identificar dois ângulos nele, chamados de e , e o terceiro ângulo será . Agora, vamos desenhar outro triângulo similar a esse, mas com ângulos , e .

Passo 3

Como os triângulos são similares, os lados opostos aos ângulos correspondentes estarão na mesma proporção. Vamos focar nos lados que correspondem aos ângulos e . Suponha que em um triângulo temos lados de comprimento 1 para simplificar os cálculos.

Passo 4

No triângulo original, a razão entre o lado oposto ao ângulo e a hipotenusa é o seno de , ou seja, . Da mesma forma, a razão entre o lado adjacente a e a hipotenusa é o cosseno de , . O mesmo vale para o ângulo .

Passo 5

Agora, vamos olhar para o triângulo que tem o ângulo . A razão entre o lado oposto a esse ângulo e a hipotenusa será o seno de . Usando a semelhança dos triângulos, podemos relacionar esses lados com os lados dos triângulos menores que temos.

Passo 6

Fazendo as contas, multiplicamos as razões correspondentes:
Isso porque cada parte está relacionada aos lados dos triângulos similares e suas proporções.

Resposta

Portanto, demonstramos que:

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Demonstrar as seguintes identidades: