Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n >= 2. Determine se as seguintes proposições são V ou F, justificando sua resposta.
(b) Se A é ortogonal, então det A= pm 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas matrizes quadradas e de ordem . A questão é verificar se a afirmação "(b) Se é ortogonal, então " é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar entender o que é uma matriz ortogonal e como o determinante está relacionado a ela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser ortogonal. Uma matriz é ortogonal se ela satisfaz a condição , onde é a transposta de e é a matriz identidade. Isso basicamente diz que as colunas de são vetores ortonormais.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o determinante de uma matriz ortogonal. Sabemos que o determinante de uma matriz produto é o produto dos determinantes. Então, calculando o determinante dos dois lados da equação det(A^T A) = det(I) , temos:
det(A^T) cdot det(A) = 1
(det A)^2 = 1
Mas , então:

Passo 4

A equação nos mostra que o quadrado do determinante de é igual a 1. Isso implica que o determinante de pode ser 1 ou -1, já que essas são as únicas duas soluções reais para essa equação.

Resposta

A proposição é Verdadeira. Se é ortogonal, então .

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