Sejam
e
matrizes quadradas de ordem
. Determine se as seguintes proposições são V ou F, justificando sua resposta.
(b) Se
é ortogonal, então
.
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas matrizes quadradas
e
de ordem
. A questão é verificar se a afirmação "(b) Se
é ortogonal, então
" é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar entender o que é uma matriz ortogonal e como o determinante está relacionado a ela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser ortogonal. Uma matriz
é ortogonal se ela satisfaz a condição
, onde
é a transposta de
e
é a matriz identidade. Isso basicamente diz que as colunas de
são vetores ortonormais.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o determinante de uma matriz ortogonal. Sabemos que o determinante de uma matriz produto é o produto dos determinantes. Então, calculando o determinante dos dois lados da equação
, temos:
Mas
, então:
Passo 4
A equação
nos mostra que o quadrado do determinante de
é igual a 1. Isso implica que o determinante de
pode ser 1 ou -1, já que essas são as únicas duas soluções reais para essa equação.
Resposta
A proposição é Verdadeira. Se
é ortogonal, então
.